El análisis de Lagrange

Una de las cosas que me ha llamado la atención sobre la fundamentación pre-ε-δ del Análisis es la obra de Lagrange Théorie des fonctions analytiques [1797] cuyo título completo es

Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'évanouissans, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies.

Como describe en el título, es una fundamentación del Cálculo Diferencial libre de toda consideración de infinitésimos, cantidades evanescentes, límites y fluxiones, que eran los fundamentos dudosos que criticara el obispo Berkeley. Su fundamento es la serie de Taylor, que supone que existe para toda función continua, y éste es su punto flaco, aunque la continuidad no estaba bien definida entonces. Decían vagamente que una función era continua si estaba dada por una sola fórmula, lo que es mucho más restrictivo que nuestra definición de continuidad. Lo que hemos hecho nosotros es utilizar su postulado de la serie de Taylor como definición de las funciones analíticas, y así se salva esta obra para nuestra exigencia de rigor.

En esta obra es donde introduce la notación $f'$ para la derivada de $f$, tres años antes de la notación $\mathrm Df$. Se observa una necesidad de indicar la derivada de una función independientemente de la variable independiente y sin hablar de infinitésimos. Parece ser que, como querían apartarse también de las fluxiones de Newton, descartaron la notación $\dot y$.

Por otro lado, pensando en la introducción del Análisis en el bachillerato, quizás fuera conveniente introducir las funciones analíticas. En el fondo, todas las funciones que van a ver son analíticas a trozos. Así pueden justificar que una función es continua o derivable los intervalos donde es analítica.

¿Qué es una variable en matemáticas? (2)

En la primera parte de esta serie traté sobre qué es un variable cuando hablamos de polinomios. Lo que dije allí es válido para series de potencias. Por ejemplo, las series formales sobre un anillo $A$ (las sucesiones cualesquiera con el producto de Cauchy) se denotan $A[[x]]$ queriendo decir "el anillo de series formales en $A$ donde llamamos $x$ a la serie destacada". También vale para series en varias variables y para series convergentes. El problema con estas últimas es que se pueden confundir con la función analítica que definen. Entre los polinomios no hay tal confusión, porque si están evaluados en la variable $x$ es una forma redundante de expresar la variable del polinomio, pero también coincide con la substitución de $x$ por ella misma. Lo mismo ocurre con las series formales, pero las series convergentes sólo se pueden evaluarse dentro de su radio de convergencia, que puede ser menor que el dominio de la función analítica que induce. Por ejemplo, la serie de potencias $1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ define la función racional $\dfrac1{x^2+1}$, que es analítica en todo $\mathbb R$, pero el radio de convergencia de la serie es $1$, por lo que sólo define una función en $(-1,1)$. El resto es prolongación analítica. Para polinomios y series de potencias tiene sentido derivar respecto a $x$ porque, como dije en la entrada anterior, es más que un elemento destacado del anillo; es un símbolo asociado al anillo y, en el caso de varias variables, a un índice.

Otro tipo de variables son las variables mudas, por ejemplo, $i$ en $\sum\limits_{i=0}^n a_i$ y $x$ en $\int f(x)\mathrm{d}x$ y en $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$. Ambas varían en un dominio definido, discreto o continuo, y se pueden sustituir en todas sus apariciones por otro símbolo no usado, por ejemplo, $\sum\limits_{i=0}^n a_i=\sum\limits_{j=0}^n a_j$, $\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(t)\mathrm{d}t$ y $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{t\to\infty}f(t)$. Las variable mudas son locales, por lo que pueden utilizarse varias veces para distinto fin sin contradicción. También es variable muda la $x$ en $x\mapsto x^2$. Me entretengo con las variables mudas porque muchas veces lo que se está utilizando informalmente es una variable muda, por ejemplo, cuando se dice "sea la función $f(x)=x^2$" lo que se quiere decir es "sea la función $f$ dada por $f(x)=x^2$ para todo $x\in\mathbb R$" ó "sea $f: x\mapsto x^2$".

La próxima entrada tratará sobre las variables dependientes e independiente.