Crítica de los diferenciales (2)

En la entrada anterior traté sobre los diferenciales en una variable. Ahora trataré sobre los diferenciales en varias variables. Igualmente, para cada variable independiente $x_i$ creamos una variable independiente $\Delta x_i$ y para cada variable dependiente $y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ creamos una variable dependiente $$\Delta y=f(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,\dots,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_n) \text,$$ aunque no lo vayamos a utilizar aquí. Lo que sí nos interesa es el diferencial $\mathrm dy=\sum_{i=1}^n\mathrm D_{x_i}[y]\Delta x_i$, que para la variable independiente $x_i$ queda $\mathrm dx_i=\Delta x_i$, como en el caso anterior. La notación tipo Leibnitz en este caso es $\displaystyle\mathrm dy =\sum_{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\mathrm dx_i$, donde no ha lugar cancelación entre $\mathrm dx_i$ y $\partial x_i$. Aquí se nota claramente que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos, y no hay definición de $\partial y$ y $\partial x_i$ por separado. La notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue introducida por Legendre [Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations, Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Année 1786, pp. 7-37, París, 1788] explicando con una nota a pie de la página 8 lo siguiente

Pour éviter toute ambiguité, je répresentarie par $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ le coefficient de $x$ dans la différence de $v$, et par $\dfrac{dv}{dx}$ la différence complette de $v$ divisée par $dx$.

Tratándose de un coeficiente, queda claro que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue un operador con dos argumentos desde el principio.

Además, la derivada parcial $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ no depende sólo de $v$ y de $x$, sino que depende de todo el sistema de variables independientes. Por ejemplo, si tenemos las variables independientes $x$ e $y$ y la variable dependiente $v=x-y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=1$. Si hacemos el cambio de variable poniendo como independiente $y$ y poniendo en su lugar $z=x+y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=2$. La trampa está en utilizar el mismo nombre para cosas que cambian, siendo al principio $v=\mathrm{vd}(f,x,y)$ con $f(x,y)=x-y$ y después $v=\mathrm{vd}(g,x,z)$ con $g(x,z)=2x-z$. Aquí podemos decir que $v$ ha cambiado, pero en Geometría Diferencial se utiliza también alegremente la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ operando sobre funciones puras en $\mathcal C^\infty(\mathbb R^2)$ y tenemos el mismo fenómeno, por lo que la notación es ambigua y requiere fijar todo es sistema de coordenadas, no sólo una función respecto a la que se deriva como si fuera una variable independiente.

Concluyendo, la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos que utiliza dos líneas cuando se podría utilizar sólo una y que induce confusión, por lo que debería evitarse.

Notaciones de las derivadas parciales

En la entrada anterior discutí las notaciones de la derivada ordinaria. Ahora voy a tratar sobre las notaciones de las derivadas parciales. Para empezar, las notaciones de Lagrange y de Newton sólo son válidas para una variable, aunque la notación de Newton se puede interpretar como deriva parcial respecto al tiempo. Sí hay notaciones operacionales y notación tipo Leibnitz. Hay una notación usual similar a la de Lagrange que necesita que la variables invariantes esté bautizadas. Así, si $z=f(x,y)$, se pueden denotar las derivadas parciales como $z_x=f_x(x,y)$ y $z_y=f_y(x,y)$. Nótese que utilizamos en nombre de las variables independientes, no su valor; así $z_x|_{x=a}=f_x(a,y)$. Otros utilizan las primas de Lagrange en tándem con el subíndice que indica respecto a qué variable estamos derivando, por ejemplo $z^\prime_x=f^\prime_x(x,y)$.

La notación operacional tiene versiones tanto para funciones puras como para funciones con variables bautizadas. Así $\mathrm D_1$ es la derivada respecto a la primera variable, $\mathrm D_2$ respecto a la segunda, etcétera. Para una variable bautizada $x$ se utiliza el operador $\mathrm D_x$. En lugar de la D se puede utilizar ∂ para denotar que las derivadas son parciales. En la notación de Leibnitz substituye el símbolo $\mathrm d$ por $\partial$. Así se escribe $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$. Personalmente yo prefiero $\mathrm D_1$ ó $\partial_1$ aplicada a funciones puras. Ocupa menos y puede utilizarse tanto para funciones puras como para variables.

Ahora trataré sobre la derivadas parciales de orden superior. Hay notaciones que indican el orden de derivación, como $f_{xy}$, $f^{\prime\prime}_{xy}$, $\mathrm D_{xy}$ y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$. Normalmente se aplica el teorema de Schwarz y el orden de derivación no importa, pudiéndose utilizar la notación de multiíndices como $f^{(1,1)}$ y $\mathrm D^{(1,1)}f$. Nótese que la primera de ellas extiende la notación de Lagrange a varias variables. Es una pena que las notaciones para variables anónimas dependan del teorema Schwarz y no sean válidas en general.