Crítica de los diferenciales (3)

Dice Euler [Institutiones Calculi Differentialis, 1755, Cap. 3, §83]

Si enim quantitas tam fuerit parva, ut omni quantitate assignabili sit minor, ea certe non poterit non esse nulla; [...] Quaerenti ergo, quid sit quantitas infinite parva in Mathesi, respondemus eam esse revera =0; neque ergo in hac idea tanta Mysteria latent, quanta vulgo putantur et quae pluribus calculum infinite parvorum admodum suspectum reddiderunt.
En efecto, si una cantidad [no negativa] fuese tan pequeña que resultase menor que toda cantidad [positiva] asignable, ella ciertamente no puede ser sino nula; [...] A quien pregunte qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, le respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente.

Así afirma Euler que, si se tiene $0\leq x<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$, entonces necesariamente $x=0$. Es equivalente al axioma de Arquímedes: dados $a$ y $b$ positivos, exite $n$ natural tal que $b<na$. Ambos enunciados niegan la existencia de infinitesimales, números estrictamente positivos y menores que cualquier número positivo. Tales infinitesimales fueron utilizados en los primeros siglos del Cálculo, aunque con reservas desde que el obispo Berkeley los criticara. Que no se diga que la Iglesia critica la ciencia siempre desde el inmovilismo, porque la crítica del obispo Berkeley provocó en la comunidad matemática (tanto entre los seguidores de Newton como entre los de Leibnitz, pues criticó a ambos) una búsqueda de fundamentos rigurosos para el Cálculo. Así se llegó hasta la formulación ε-δ que conocemos en la actualidad, lo que se llama el Análisis estándar.

Aunque los infinitésimos fueron borrados del mapa matemático en el siglo XIX, resucitaron alrededor de 1970 con formulaciones que llamamos Análisis no estándar. Estas formulaciones dependen de resultados de la Lógica desconocidos antes. Unos introducen lo no estándar desde la propia Teoría de Conjuntos. Otros construyen los números hiperreales $^*\mathbb R$ como una extensión de los reales y reducen la lógica de lo no estándar a los teoremas de transferencia, que permiten traspasar teoremas de $\mathbb R$ a $^*\mathbb R$ y al contrario. Esto me recuerda que Leibnitz dijo sobre los infinitésimos que bastará utilizarlos como herramienta ventajosa para el cálculo, del mismo modo que los algebristas utilizan las raíces imaginarias con provecho. En ambos casos se ha construido una extensión de $\mathbb R$ donde viven los infinitésismos y las raíces imaginarias. Son dos extensiones de $\mathbb R$ en direcciones diferentes, pero creo que se puede construir un plano complejo $^*\mathbb C$ sobre $^*\mathbb R$, aunque el nombre de hipercomplejos ya está pillado por otra teoría.

Hay otras ampliaciones de $\mathbb R$ diferentes de $^*\mathbb R$, sobre las que ya trataré si tengo ganas, pero en ninguna de las que conozco la derivada es un cociente de incrementos infinitesimales. En todos los casos hay que descartar los llamados infinitésimos de orden superior. Por ejemplo, al derivar $x^2$ se encuentran $$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2\text,$$ donde descartamos $(\Delta x)^2$ cuando $\Delta x$ es infinitesimal y escriben $\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx+\mathrm dx^2$, donde $\mathrm dx$ es $\Delta x$ restringida a los infinitésimos. Así hacen el cociente $\dfrac{\mathrm d(x^2)}{\mathrm dx}=2x+\mathrm dx$ y descartan $\mathrm dx$ por ser infinitesimal. Por tanto, la derivada no es cociente de infinitésimos, sino que difiere de éste en un infinitésimo. Esta operación puede verse como un paso al límite o como tomar la parte estándar de un número.

Crítica de los diferenciales (2)

En la entrada anterior traté sobre los diferenciales en una variable. Ahora trataré sobre los diferenciales en varias variables. Igualmente, para cada variable independiente $x_i$ creamos una variable independiente $\Delta x_i$ y para cada variable dependiente $y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ creamos una variable dependiente $$\Delta y=f(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,\dots,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_n) \text,$$ aunque no lo vayamos a utilizar aquí. Lo que sí nos interesa es el diferencial $\mathrm dy=\sum_{i=1}^n\mathrm D_{x_i}[y]\Delta x_i$, que para la variable independiente $x_i$ queda $\mathrm dx_i=\Delta x_i$, como en el caso anterior. La notación tipo Leibnitz en este caso es $\displaystyle\mathrm dy =\sum_{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\mathrm dx_i$, donde no ha lugar cancelación entre $\mathrm dx_i$ y $\partial x_i$. Aquí se nota claramente que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos, y no hay definición de $\partial y$ y $\partial x_i$ por separado. La notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue introducida por Legendre [Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations, Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Année 1786, pp. 7-37, París, 1788] explicando con una nota a pie de la página 8 lo siguiente

Pour éviter toute ambiguité, je répresentarie par $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ le coefficient de $x$ dans la différence de $v$, et par $\dfrac{dv}{dx}$ la différence complette de $v$ divisée par $dx$.

Tratándose de un coeficiente, queda claro que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue un operador con dos argumentos desde el principio.

Además, la derivada parcial $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ no depende sólo de $v$ y de $x$, sino que depende de todo el sistema de variables independientes. Por ejemplo, si tenemos las variables independientes $x$ e $y$ y la variable dependiente $v=x-y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=1$. Si hacemos el cambio de variable poniendo como independiente $y$ y poniendo en su lugar $z=x+y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=2$. La trampa está en utilizar el mismo nombre para cosas que cambian, siendo al principio $v=\mathrm{vd}(f,x,y)$ con $f(x,y)=x-y$ y después $v=\mathrm{vd}(g,x,z)$ con $g(x,z)=2x-z$. Aquí podemos decir que $v$ ha cambiado, pero en Geometría Diferencial se utiliza también alegremente la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ operando sobre funciones puras en $\mathcal C^\infty(\mathbb R^2)$ y tenemos el mismo fenómeno, por lo que la notación es ambigua y requiere fijar todo es sistema de coordenadas, no sólo una función respecto a la que se deriva como si fuera una variable independiente.

Concluyendo, la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos que utiliza dos líneas cuando se podría utilizar sólo una y que induce confusión, por lo que debería evitarse.

Crítica de los diferenciales (1)

Como ya comenté en entradas anteriores, la mejor interpretación que se puede dar a la notación de Lebnitz $\dfrac{\mathrm d\square}{\mathrm d\square}$ es un operador con dos argumentos, por lo que no tiene sentido considerar cada $\mathrm d\square$ por separado. Para Leibnitz era un cociente de infinitésimos, pero tales infinitésimos fueron formalizados mucho más tarde (de los que ya hablaré en otra entrada) y ni siquiera allí es un cociente, sino el resultado de una operación hecha sobre el cociente, al igual que la terminología actual, donde la operación es el límite. En ambos casos una fórmula como $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ sugiere qué manipulación ha de hacer en el cociente que define la derivada, pero hay que descomponer la operación (el límite en nuestro caso) en dos por el producto.

Algunos, para darle valor a $\mathrm d\square$, lo definen de manera que $\mathrm dy =\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\mathrm dx$, pero definiendo primero la derivada y después el diferencial. Con esta terminología es necesario definir los incrementos de la variables. Para cada variable $u$ se introduce su incremento como la variable $\Delta u$. Para una variable independiente $x$, su incremento $\Delta x$ es una nueva variable independiente. Para una variable dependiente $y=f(x)$, su incremento es $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, una nueva variable dependiente. Así la derivada se define como $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. También se define el diferencial como $\mathrm dy =f'(x)\Delta x$. Así el diferencial de la variable independiente es $\mathrm dx=\Delta x$ y se puede escribir para cualquier variable $\mathrm dy =f'(x)\mathrm dx$.

Si $y=f(x)$ y $z=g(y)$, entonces $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ y $\mathrm dz=g'(f(x))f'(x)\mathrm dx$, luego $\mathrm dz=g'(y)\mathrm dy$. Vemos, pues, que la fórmula $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ es válida tanto si $x$ es dependiente como independiente, de ahí que la regla de la cadena se escriba $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$. Esta notación de la regla de la cadena falla cuando $\mathrm dy=0$, que puede ser para $y$ (localmente) constante ó para $\Delta x=0$. De hecho, para $\Delta x=0$ la notación de Leibnitz falla siempre, y es un caso a considerar.

Aunque estemos trabajando en una variable $x$, hemos tenido que introducir otra variable independiente $\Delta x$. Lo que tenemos es $\mathrm dy=\mathrm D_x[y] \Delta x$. El segundo differencial será $\mathrm d^2 y=\mathrm D_x[\mathrm D_x[y] \Delta x] \Delta x=\mathrm D^2_x[y]\Delta x^2$, entendiendo $\Delta x^2=(\Delta x)^2$, lo que justifica la notación $\dfrac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}$, entendiendo $\mathrm dx^2=(\mathrm dx)^2$, con la salvedad de $\Delta x=0$. En general $\mathrm d^n y=\mathrm D^n_x[y]\Delta x^n$, lo que justifica $\dfrac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n}$ con la misma salvedad.

Crítica de las notaciones para las derivadas

En anteriores entradas expuse las distintas notaciones para las derivadas ordinarias y derivadas parciales. Creo que podemos dejar de lado la notación de Newton porque, si la interpretamos como derivada respecto al tiempo, no podemos derivar respecto a $x$ y, si la interpretamos como derivada respecto a una variable implícita, estaríamos en la notación de Lagrange pero peor tipográficamente, porque $\mathop{\dot f}\limits^n$ requiere un doble superíndice por encima del nombre del objeto que derivamos, mientras que la notación de Lagrange $f^{(n)}$ tiene un superíndice al lado del objeto, que ocupa mucho menos y ahora espacio vertical. Además, la notación de Lagrange se utiliza ya para este fin, mientras que la notación de Newton tiene el otro uso ya establecido.

La notación de Lebnitz tiene la única ventaja de que indica claramente respecto a qué variable derivamos, lo cual sólo es importante cuando hay varias variables respecto a las que podemos derivar; esto sólo ocurre en un contexto de varias variables, luego la única notación de Leibnitz útil es $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$, y la notación $\dfrac{\mathrm d\square}{\mathrm d\square}$ sólo tiene inconvenientes. Es más fácil poner $f'$ que $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, y $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ como operador no es más que $\mathrm D$ ó, si se quiere remarcar la variable, que $\mathrm D_x$. ¿Para qué emplear dos líneas y potenciar el uso de variables cuando se puede utilizar una sola y potenciar el uso de funciones puras?

Entre la notación de Lagrange y la operacional me quedo con la de Lagrange para funciones puras de expresión breve, es decir, que no haga falta encerrar la función a derivar entre paréntesis. La notación operacional la prefiero para variables dependientes, pues permite explicitar la variable independiente, y cuando la expresión a derivar es compleja, ya que se puede encerrar entre corchetes. Esto en una variable; pasaremos ahora a varias variables.

En varias variables la notación de Lagrange sólo se puede utilizar donde esté garantiza la validez del teorema de Schwarz, y la pseudolagrangiana tiene muchas variantes y resulta confusa. La notación tiene la ventaja de que puede utilizar tres variantes sin lugar a confusión. Para utilizar la notación tipo Leibnitz $\dfrac{\partial\square}{\partial x}$, prefiero utilizar la operacional $\partial_x$, que utiliza la mitad de espacio vertical.

Además, la notación de Leibnitz hace pensar en un cociente y en un denominador conmutativo, cuando ni es cociente (de lo que ya hablaré en otra entrada) ni el denominador es un producto conmutativo.

Notaciones de la derivada ordinaria

Toda esta serie ¿Qué es una variable en matemáticas? [1, 2, 3, 4] está inspirada por lo que voy a escribir a continuación, una discusión sobre las distintas notaciones de la derivada. Empezaré con mis favoritas: la de Lagrange y la operacional. Ambas se aplican a funciones puras, aunque se pueden aplicar también a funciones con variables bautizadas y, con un ligero abuso, a variables dependientes. Con la notación de Lagrange, la derivada de $f$ es $f'$ y, si la función tenía bautizada la variable, lo hereda la derivada. Para aplicar la notación de Lagrange a una variable dependiente tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $y'=f(x)$. Desde luego yo prefiero $f'(x)$ a $y'$, pero también se utiliza $y'$ y también he visto cosas como $(x^2+1)'=2x$. Así pues, es preferible poner $f'(x)$ que $f(x)'$, porque la primera es la derivada de una función (evaluada en $x$ o recordando que su variable es $x$, según el contexto) y la segunda es la derivada de una variable dependiente. Además, si $y$ es una variable dependiente, no es igual $f'(y)$ que $f(y)'$. De hecho, la regla de la cadena se puede enunciar como $f(y)'=f'(y)\cdot y'$, aunque yo prefiero enunciarla para funciones puras como $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$.

La notación operacional es atribuida por muchos a Euler, pero según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §577] esta notación la introdujo con su significado actual Arbogast [De Calcul des Dérivations, 1800]. En notación, la derivada de $f$ es $\mathrm{D}f$. Si se quiere delimitar dónde actúa, se puede poner $D[f]$; por ejemplo, la regla de Leibnitz quedaría como $ \mathrm{D}[f\cdot g]= \mathrm{D}[f]\cdot g+f\cdot\mathrm{D}[g]$. Al igual que con la notación de Lagrange, para aplicarla a una variable dependiente, tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $\mathrm{D}[y]=\mathrm{D}[f](x)$. Así, por ejemplo, se puede ver $\mathrm{D}[x^2+1]=2x$. Además de ser válidas para esta notación las observaciones que hice para la de Lagrange, se tiene la ambigüedad en la expresión $\mathrm{D}f(x)$. ¿Qué significa, $\mathrm{D}[f](x)$ o $\mathrm{D}[f(x)]$? Desde luego yo prefiero la primera interpretación, pero se presta a confusión e incluso, si $x$ es una variable dependiente, pueden tener diferente valor.

Después de introducir mis notaciones preferidas, introduciré las de los padres del Cálculo: Newton y Leibnitz. Con la notación de Newton, la fluxión de $x$ es $\dot x$. En principio, esta notación se podría emplear para cualquier función de cualquier variable, pero en la práctica se ha especializado para variables dependientes del tiempo. Esto significa que la variable independiente implícita es $t$, pero hay usos en Relatividad donde $t$ es una variable espacio-temporal más y la notación de Newton indica derivación con respecto a $\tau$, el tiempo propio. Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §567] indica que, para derivadas respecto a otras variables, Newton utilizaba $\dot y:\dot x$ pero, como ha caído en desuso, no voy a comentarlo. Otra desventaja de esta notación es aplicarla a una expresión compuesta. Newton recurría a barras como $\overline{x+y}$ para agrupar, pero era también la forma mcomún de agrupar antes de que se impusieran los paréntesis. Con paréntesis quedaría como $(x+y)^{\textstyle\cdot}=\dot x+\dot y$.

Finalmente introduzco la notación de Leibnitz, que es la que menos me gusta. En principio se utiliza para variables dependientes. La derivada de $y$ con respecto a $x$ se denota $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Para funciones, se puede convertir en la derivada de una variable dependiente como $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ ó definir $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=f'$. Tiene la desventaja de tener que bautizar a la variable de una función pura, aparte de que el operador tiene altura doble y ocupa mucho más espacio que $\mathrm{D}$ ó que la notación de Lagrange. Pero lo peor de todo es que, aunque es operador $\dfrac{\mathrm{d}\square}{\mathrm{d}\square}$ con dos argumentos, tiene apariencia de cociente e induce a pensar en cancelaciones prohibidas. Ya hablaré en otra entrada sobre las desventajas de esta notación.

Para terminar compararé las diferentes notaciones de las derivadas de orden superior. En la notación de Lagrange se suele utilizar $f',f'',f''',f^\mathrm{IV}$ continuando con números romanos, como para las fracciones sexagesimales, o de la forma $f^{(n)}$. En la notación operacional, evidentemente, se utiliza $\mathrm D^n$. Ambas notaciones admiten la notación $f^{(-1)}$ y $\mathrm D^{-1}$ para la antiderivada o primitiva. La notación de Newton continúa añadiendo puntos encima de la forma $\dot x,\ddot x, \dot{\ddot x},\ddot{\ddot x}$ ó, según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §579], de la forma $\mathop{\dot x}\limits^n$. La antiderivada (fluente para Newton) se denota $\mathop{x}\limits^{\scriptscriptstyle|}$ según Cajori [§567]. En la notación de Leibnitz se suele escribir $\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$, que no hace más que crear confusión. La antiderivada es todavía más complicada: la inversa de $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ es $\int\square\mathrm{d}x$.