Los números hiperreales

Para construir los números hiperreales, según la construcción que he visto en todas las referencias, se parte del anillo $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ de todas las sucesiones de números reales y se establece una dicotomía en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ entre subconjuntos grandes y pequeños de $\mathbb N$ que cumpla las siguientes propiedades.

1. Todo subconjunto finito, incluido el vacío, es pequeño.
2. El complementario de un conjunto pequeño es grande.
3. El complementario de un conjunto grande es pequeño.
4. Un subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
5. La unión finita de conjuntos pequeños es pequeña.

Normalmente se suelen enunciar para conjuntos grandes, pero es equivalente módulo las propiedades 2 y 3. La existencia de tal dicotomía requiere del Axioma de Elección. Normalmente se recurre a la existencia de un ultrafiltro por el Lema de Zorn, pero no me meteré en esto.

Gracias a esta dicotomía se construye una tricotomía en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Dadas dos sucesiones $\underline a=(a_n)_{n=0}^\infty$ y $\underline b=(b_n)_{n=0}^\infty$, los conjuntos de índices $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n>b_n\}$, $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n<b_n\}$ y $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n=b_n\}$ son exactamente dos pequeños y uno grande. Según el que sea grande se dice $\underline a>\underline b$, $\underline a<\underline b$ ó $\underline a\sim\underline b$ respectivamente. Resulta que $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ que respecta el orden y definimos los hiperreales como $^*\mathbb R=\mathbb{R}^\mathbb{N}/\sim$. La inmesión $\mathbb R\subset{^*}\mathbb R$ se hace mediante las sucesiones constantes. La operaciones se hacen término a término. En caso de que un término quedara indefinido, como una división por 0, se completa con ceros o con cualquier número. Da igual con qué número se complete porque se hará en un conjunto pequeño de índices y las sucesiones serán equivalentes.

Nótese que no son sólo las sucesiones convergentes, sino que las sucesiones oscilantes también entran. Por ejemplo, la sucesión alternada $((-1)^n)_{n=0}^\infty$ coincide con la constante $1$ en los términos pares y con la constante $-1$ en los impares. Según sea la dicotomía, exactamente uno de los conjuntos de índices, los pares y los impares, será grande y el otro será pequeño. Así la sucesión alternada será equivalente a $1$ ó a $-1$. Nótese también que diferentes sucesiones convergentes a un mismo número representan diferentes números que difieren en un infinitésimo. Es lo que se llama el halo de un elemento, su parte estándar, que es su límite.

Las funciones de variable real se pueden extender a los hiperreales de la siguiente manera: si $a=[(a_n)_{n=0}^\infty]$, $f$ se extiende como $f(a)=[(f(a_n))_{n=0}^\infty]$. Esto permite definir la continuidad de $f$ en $b\in\mathbb R$ como la contención de la imagen por $f$ del halo de $b$ en el halo de $f(b)$. La derivada de $f$ en $b$ se puede definir como la parte estándar del cociente de infinitésimos.

Es interesante reseñar que la construcción de $^*\mathbb R$ depende de la elección de la dicotomía, que se hace invocando el Axioma de Elección. Si se asume la Hipótesis del Continuo, entonces tenemos la unicidad salvo isomorfismo. De lo que no he encontrado referencias es del contrario: si se niega la Hipótesis del continuo, entonces hay construcciones de $^*\mathbb R$ no ismorfas.

Crítica de los diferenciales (3)

Dice Euler [Institutiones Calculi Differentialis, 1755, Cap. 3, §83]

Si enim quantitas tam fuerit parva, ut omni quantitate assignabili sit minor, ea certe non poterit non esse nulla; [...] Quaerenti ergo, quid sit quantitas infinite parva in Mathesi, respondemus eam esse revera =0; neque ergo in hac idea tanta Mysteria latent, quanta vulgo putantur et quae pluribus calculum infinite parvorum admodum suspectum reddiderunt.
En efecto, si una cantidad [no negativa] fuese tan pequeña que resultase menor que toda cantidad [positiva] asignable, ella ciertamente no puede ser sino nula; [...] A quien pregunte qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, le respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente.

Así afirma Euler que, si se tiene $0\leq x<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$, entonces necesariamente $x=0$. Es equivalente al axioma de Arquímedes: dados $a$ y $b$ positivos, exite $n$ natural tal que $b<na$. Ambos enunciados niegan la existencia de infinitesimales, números estrictamente positivos y menores que cualquier número positivo. Tales infinitesimales fueron utilizados en los primeros siglos del Cálculo, aunque con reservas desde que el obispo Berkeley los criticara. Que no se diga que la Iglesia critica la ciencia siempre desde el inmovilismo, porque la crítica del obispo Berkeley provocó en la comunidad matemática (tanto entre los seguidores de Newton como entre los de Leibnitz, pues criticó a ambos) una búsqueda de fundamentos rigurosos para el Cálculo. Así se llegó hasta la formulación ε-δ que conocemos en la actualidad, lo que se llama el Análisis estándar.

Aunque los infinitésimos fueron borrados del mapa matemático en el siglo XIX, resucitaron alrededor de 1970 con formulaciones que llamamos Análisis no estándar. Estas formulaciones dependen de resultados de la Lógica desconocidos antes. Unos introducen lo no estándar desde la propia Teoría de Conjuntos. Otros construyen los números hiperreales $^*\mathbb R$ como una extensión de los reales y reducen la lógica de lo no estándar a los teoremas de transferencia, que permiten traspasar teoremas de $\mathbb R$ a $^*\mathbb R$ y al contrario. Esto me recuerda que Leibnitz dijo sobre los infinitésimos que bastará utilizarlos como herramienta ventajosa para el cálculo, del mismo modo que los algebristas utilizan las raíces imaginarias con provecho. En ambos casos se ha construido una extensión de $\mathbb R$ donde viven los infinitésismos y las raíces imaginarias. Son dos extensiones de $\mathbb R$ en direcciones diferentes, pero creo que se puede construir un plano complejo $^*\mathbb C$ sobre $^*\mathbb R$, aunque el nombre de hipercomplejos ya está pillado por otra teoría.

Hay otras ampliaciones de $\mathbb R$ diferentes de $^*\mathbb R$, sobre las que ya trataré si tengo ganas, pero en ninguna de las que conozco la derivada es un cociente de incrementos infinitesimales. En todos los casos hay que descartar los llamados infinitésimos de orden superior. Por ejemplo, al derivar $x^2$ se encuentran $$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2\text,$$ donde descartamos $(\Delta x)^2$ cuando $\Delta x$ es infinitesimal y escriben $\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx+\mathrm dx^2$, donde $\mathrm dx$ es $\Delta x$ restringida a los infinitésimos. Así hacen el cociente $\dfrac{\mathrm d(x^2)}{\mathrm dx}=2x+\mathrm dx$ y descartan $\mathrm dx$ por ser infinitesimal. Por tanto, la derivada no es cociente de infinitésimos, sino que difiere de éste en un infinitésimo. Esta operación puede verse como un paso al límite o como tomar la parte estándar de un número.