Notaciones de la derivada ordinaria

Toda esta serie ¿Qué es una variable en matemáticas? [1, 2, 3, 4] está inspirada por lo que voy a escribir a continuación, una discusión sobre las distintas notaciones de la derivada. Empezaré con mis favoritas: la de Lagrange y la operacional. Ambas se aplican a funciones puras, aunque se pueden aplicar también a funciones con variables bautizadas y, con un ligero abuso, a variables dependientes. Con la notación de Lagrange, la derivada de $f$ es $f'$ y, si la función tenía bautizada la variable, lo hereda la derivada. Para aplicar la notación de Lagrange a una variable dependiente tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $y'=f(x)$. Desde luego yo prefiero $f'(x)$ a $y'$, pero también se utiliza $y'$ y también he visto cosas como $(x^2+1)'=2x$. Así pues, es preferible poner $f'(x)$ que $f(x)'$, porque la primera es la derivada de una función (evaluada en $x$ o recordando que su variable es $x$, según el contexto) y la segunda es la derivada de una variable dependiente. Además, si $y$ es una variable dependiente, no es igual $f'(y)$ que $f(y)'$. De hecho, la regla de la cadena se puede enunciar como $f(y)'=f'(y)\cdot y'$, aunque yo prefiero enunciarla para funciones puras como $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$.

La notación operacional es atribuida por muchos a Euler, pero según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §577] esta notación la introdujo con su significado actual Arbogast [De Calcul des Dérivations, 1800]. En notación, la derivada de $f$ es $\mathrm{D}f$. Si se quiere delimitar dónde actúa, se puede poner $D[f]$; por ejemplo, la regla de Leibnitz quedaría como $ \mathrm{D}[f\cdot g]= \mathrm{D}[f]\cdot g+f\cdot\mathrm{D}[g]$. Al igual que con la notación de Lagrange, para aplicarla a una variable dependiente, tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $\mathrm{D}[y]=\mathrm{D}[f](x)$. Así, por ejemplo, se puede ver $\mathrm{D}[x^2+1]=2x$. Además de ser válidas para esta notación las observaciones que hice para la de Lagrange, se tiene la ambigüedad en la expresión $\mathrm{D}f(x)$. ¿Qué significa, $\mathrm{D}[f](x)$ o $\mathrm{D}[f(x)]$? Desde luego yo prefiero la primera interpretación, pero se presta a confusión e incluso, si $x$ es una variable dependiente, pueden tener diferente valor.

Después de introducir mis notaciones preferidas, introduciré las de los padres del Cálculo: Newton y Leibnitz. Con la notación de Newton, la fluxión de $x$ es $\dot x$. En principio, esta notación se podría emplear para cualquier función de cualquier variable, pero en la práctica se ha especializado para variables dependientes del tiempo. Esto significa que la variable independiente implícita es $t$, pero hay usos en Relatividad donde $t$ es una variable espacio-temporal más y la notación de Newton indica derivación con respecto a $\tau$, el tiempo propio. Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §567] indica que, para derivadas respecto a otras variables, Newton utilizaba $\dot y:\dot x$ pero, como ha caído en desuso, no voy a comentarlo. Otra desventaja de esta notación es aplicarla a una expresión compuesta. Newton recurría a barras como $\overline{x+y}$ para agrupar, pero era también la forma mcomún de agrupar antes de que se impusieran los paréntesis. Con paréntesis quedaría como $(x+y)^{\textstyle\cdot}=\dot x+\dot y$.

Finalmente introduzco la notación de Leibnitz, que es la que menos me gusta. En principio se utiliza para variables dependientes. La derivada de $y$ con respecto a $x$ se denota $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Para funciones, se puede convertir en la derivada de una variable dependiente como $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ ó definir $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=f'$. Tiene la desventaja de tener que bautizar a la variable de una función pura, aparte de que el operador tiene altura doble y ocupa mucho más espacio que $\mathrm{D}$ ó que la notación de Lagrange. Pero lo peor de todo es que, aunque es operador $\dfrac{\mathrm{d}\square}{\mathrm{d}\square}$ con dos argumentos, tiene apariencia de cociente e induce a pensar en cancelaciones prohibidas. Ya hablaré en otra entrada sobre las desventajas de esta notación.

Para terminar compararé las diferentes notaciones de las derivadas de orden superior. En la notación de Lagrange se suele utilizar $f',f'',f''',f^\mathrm{IV}$ continuando con números romanos, como para las fracciones sexagesimales, o de la forma $f^{(n)}$. En la notación operacional, evidentemente, se utiliza $\mathrm D^n$. Ambas notaciones admiten la notación $f^{(-1)}$ y $\mathrm D^{-1}$ para la antiderivada o primitiva. La notación de Newton continúa añadiendo puntos encima de la forma $\dot x,\ddot x, \dot{\ddot x},\ddot{\ddot x}$ ó, según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §579], de la forma $\mathop{\dot x}\limits^n$. La antiderivada (fluente para Newton) se denota $\mathop{x}\limits^{\scriptscriptstyle|}$ según Cajori [§567]. En la notación de Leibnitz se suele escribir $\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$, que no hace más que crear confusión. La antiderivada es todavía más complicada: la inversa de $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ es $\int\square\mathrm{d}x$.