Otras construcciones con infinitesimales

Aparte de los números duales, ya comenté, hay otras extensiones de $\mathbb R$ que incluyen infinitésimos. Hay extensiones de $\mathbb R$ que son series formales en un parámetro $\varepsilon$ infinitesimal. El cuerpo de Levi-Civita $\mathcal R$ está formado por las series formales en $\varepsilon$ con coeficientes en $\mathbb R$, exponentes en $\mathbb Q$ y soporte con la propiedad de que a la izquierda de todo número racional hay sólo una parte finita del soporte. Es decir, los elementos de $\mathcal R$ están determinados por una sucesión de términos $(a_n)_{n=0}^\infty$ en $\mathbb R$ y una sucesión de exponentes $(d_n)_{n=0}^\infty$ en $\mathbb Q$ estrictamente creciente y divergente, de manera que $\sum_{n=0}^\infty a_n \varepsilon^{d_n} \in\mathcal R$. Cito como referencia moderna [Shamseddine, New Elements of Analysis on the Levi-Civita Field, tesis doctoral, 1999].

Otra construcción similar son los números superreales de Tall. Es necesario indicar el autor porque otros autores, como Dales y Woodin, construyeron otro tipo de números también llamados superreales. Los superreales de Tall son las series de Laurent formales $\mathbb R(\!(\varepsilon)\!)$, un subconjunto propio de $\mathcal R$. Ambos son cuerpos ordenados; $\mathcal R$ es real-cerrado y su cierre algebraico es $\mathcal R+\mathrm i\mathcal R$, mientras que $\mathbb R(\!(\varepsilon)\!)$ es más sencillo para trabajar con funciones analíticas. Incluso tiene sentido considerar las series divergentes como con dominio infinitesimal.

En ambos casos un número infinito es una serie con potencias negativas de $\varepsilon$, un número finito es una serie sin potencias negativas de $\varepsilon$ y un infinitésimo es una serie sin potencias negativas de $\varepsilon$ ni término independiente. La parte estándar de un número finito es el término independiente de la serie. Así se puede derivar de la manera que se hace con los números duales, sólo que aquí sí se puede dividir por $\varepsilon$. Después de dividir por $\varepsilon$, tomar la parte estándar es eliminar los términos en potencias superiores de $\varepsilon$, que significa infinitésimos de orden superior. Así pues, la derivada no es un cociente de infinitésismos.

Los números duales

Una de las extensiones de $\mathbb R$ que permite trabajar con infinitesimales son los números duales. Lo que se hace es añadir a $\mathbb R$ un infinitésimo $\varepsilon$ e imponer $\varepsilon^2=0$; formalmente $\mathbb D=\mathbb R[x]/(x^2)$ y $\varepsilon =x+(x^2)$. Ésta es una de las tres posibles $\mathbb R$‑álgebras bidimensionales; las otras son los complejos $\mathbb C=\mathbb R[x]/(x^2+1)$ y los paracomplejos $\mathbb M=\mathbb R[x]/(x^2-1)$. Así se puede tomar $\Delta x=\varepsilon$ y calcular $\Delta(x^2)=(x+\varepsilon)-x^2=2x\varepsilon$.

Los números duales tiene varios inconvenientes. Para empezar, no forman un cuerpo, ni siquiera un dominio de integridad, porque $\varepsilon$ es nilpotente. En particular, no se puede dividir por $\varepsilon$, sólo sacarlo como factor común, luego la notación de Leibnitz es incorrecta con los números duales. No obstante, sirven para calcular con todo rigor con polinomios y series. Sirven también para calcular las ecuaciones del álgebra de Lie de un grupo algebraico lineal, haciendo así honor a la clásica denominación de transformaciones infinitesimales. Una matriz $\mathtt A\in\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ pertenece al álgebra de Lie del grupo algebraico lineal si y sólo si $\mathtt I+\varepsilon\mathtt A$ pertenece a la variedad que define el grupo algebraico ampliada a $\mathbb C[\varepsilon]$.

Crítica de los diferenciales (3)

Dice Euler [Institutiones Calculi Differentialis, 1755, Cap. 3, §83]

Si enim quantitas tam fuerit parva, ut omni quantitate assignabili sit minor, ea certe non poterit non esse nulla; [...] Quaerenti ergo, quid sit quantitas infinite parva in Mathesi, respondemus eam esse revera =0; neque ergo in hac idea tanta Mysteria latent, quanta vulgo putantur et quae pluribus calculum infinite parvorum admodum suspectum reddiderunt.
En efecto, si una cantidad [no negativa] fuese tan pequeña que resultase menor que toda cantidad [positiva] asignable, ella ciertamente no puede ser sino nula; [...] A quien pregunte qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, le respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente.

Así afirma Euler que, si se tiene $0\leq x<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$, entonces necesariamente $x=0$. Es equivalente al axioma de Arquímedes: dados $a$ y $b$ positivos, exite $n$ natural tal que $b<na$. Ambos enunciados niegan la existencia de infinitesimales, números estrictamente positivos y menores que cualquier número positivo. Tales infinitesimales fueron utilizados en los primeros siglos del Cálculo, aunque con reservas desde que el obispo Berkeley los criticara. Que no se diga que la Iglesia critica la ciencia siempre desde el inmovilismo, porque la crítica del obispo Berkeley provocó en la comunidad matemática (tanto entre los seguidores de Newton como entre los de Leibnitz, pues criticó a ambos) una búsqueda de fundamentos rigurosos para el Cálculo. Así se llegó hasta la formulación ε-δ que conocemos en la actualidad, lo que se llama el Análisis estándar.

Aunque los infinitésimos fueron borrados del mapa matemático en el siglo XIX, resucitaron alrededor de 1970 con formulaciones que llamamos Análisis no estándar. Estas formulaciones dependen de resultados de la Lógica desconocidos antes. Unos introducen lo no estándar desde la propia Teoría de Conjuntos. Otros construyen los números hiperreales $^*\mathbb R$ como una extensión de los reales y reducen la lógica de lo no estándar a los teoremas de transferencia, que permiten traspasar teoremas de $\mathbb R$ a $^*\mathbb R$ y al contrario. Esto me recuerda que Leibnitz dijo sobre los infinitésimos que bastará utilizarlos como herramienta ventajosa para el cálculo, del mismo modo que los algebristas utilizan las raíces imaginarias con provecho. En ambos casos se ha construido una extensión de $\mathbb R$ donde viven los infinitésismos y las raíces imaginarias. Son dos extensiones de $\mathbb R$ en direcciones diferentes, pero creo que se puede construir un plano complejo $^*\mathbb C$ sobre $^*\mathbb R$, aunque el nombre de hipercomplejos ya está pillado por otra teoría.

Hay otras ampliaciones de $\mathbb R$ diferentes de $^*\mathbb R$, sobre las que ya trataré si tengo ganas, pero en ninguna de las que conozco la derivada es un cociente de incrementos infinitesimales. En todos los casos hay que descartar los llamados infinitésimos de orden superior. Por ejemplo, al derivar $x^2$ se encuentran $$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2\text,$$ donde descartamos $(\Delta x)^2$ cuando $\Delta x$ es infinitesimal y escriben $\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx+\mathrm dx^2$, donde $\mathrm dx$ es $\Delta x$ restringida a los infinitésimos. Así hacen el cociente $\dfrac{\mathrm d(x^2)}{\mathrm dx}=2x+\mathrm dx$ y descartan $\mathrm dx$ por ser infinitesimal. Por tanto, la derivada no es cociente de infinitésimos, sino que difiere de éste en un infinitésimo. Esta operación puede verse como un paso al límite o como tomar la parte estándar de un número.

Crítica de los diferenciales (2)

En la entrada anterior traté sobre los diferenciales en una variable. Ahora trataré sobre los diferenciales en varias variables. Igualmente, para cada variable independiente $x_i$ creamos una variable independiente $\Delta x_i$ y para cada variable dependiente $y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ creamos una variable dependiente $$\Delta y=f(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,\dots,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_n) \text,$$ aunque no lo vayamos a utilizar aquí. Lo que sí nos interesa es el diferencial $\mathrm dy=\sum_{i=1}^n\mathrm D_{x_i}[y]\Delta x_i$, que para la variable independiente $x_i$ queda $\mathrm dx_i=\Delta x_i$, como en el caso anterior. La notación tipo Leibnitz en este caso es $\displaystyle\mathrm dy =\sum_{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\mathrm dx_i$, donde no ha lugar cancelación entre $\mathrm dx_i$ y $\partial x_i$. Aquí se nota claramente que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos, y no hay definición de $\partial y$ y $\partial x_i$ por separado. La notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue introducida por Legendre [Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations, Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Année 1786, pp. 7-37, París, 1788] explicando con una nota a pie de la página 8 lo siguiente

Pour éviter toute ambiguité, je répresentarie par $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ le coefficient de $x$ dans la différence de $v$, et par $\dfrac{dv}{dx}$ la différence complette de $v$ divisée par $dx$.

Tratándose de un coeficiente, queda claro que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue un operador con dos argumentos desde el principio.

Además, la derivada parcial $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ no depende sólo de $v$ y de $x$, sino que depende de todo el sistema de variables independientes. Por ejemplo, si tenemos las variables independientes $x$ e $y$ y la variable dependiente $v=x-y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=1$. Si hacemos el cambio de variable poniendo como independiente $y$ y poniendo en su lugar $z=x+y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=2$. La trampa está en utilizar el mismo nombre para cosas que cambian, siendo al principio $v=\mathrm{vd}(f,x,y)$ con $f(x,y)=x-y$ y después $v=\mathrm{vd}(g,x,z)$ con $g(x,z)=2x-z$. Aquí podemos decir que $v$ ha cambiado, pero en Geometría Diferencial se utiliza también alegremente la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ operando sobre funciones puras en $\mathcal C^\infty(\mathbb R^2)$ y tenemos el mismo fenómeno, por lo que la notación es ambigua y requiere fijar todo es sistema de coordenadas, no sólo una función respecto a la que se deriva como si fuera una variable independiente.

Concluyendo, la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos que utiliza dos líneas cuando se podría utilizar sólo una y que induce confusión, por lo que debería evitarse.

Crítica de los diferenciales (1)

Como ya comenté en entradas anteriores, la mejor interpretación que se puede dar a la notación de Lebnitz $\dfrac{\mathrm d\square}{\mathrm d\square}$ es un operador con dos argumentos, por lo que no tiene sentido considerar cada $\mathrm d\square$ por separado. Para Leibnitz era un cociente de infinitésimos, pero tales infinitésimos fueron formalizados mucho más tarde (de los que ya hablaré en otra entrada) y ni siquiera allí es un cociente, sino el resultado de una operación hecha sobre el cociente, al igual que la terminología actual, donde la operación es el límite. En ambos casos una fórmula como $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ sugiere qué manipulación ha de hacer en el cociente que define la derivada, pero hay que descomponer la operación (el límite en nuestro caso) en dos por el producto.

Algunos, para darle valor a $\mathrm d\square$, lo definen de manera que $\mathrm dy =\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\mathrm dx$, pero definiendo primero la derivada y después el diferencial. Con esta terminología es necesario definir los incrementos de la variables. Para cada variable $u$ se introduce su incremento como la variable $\Delta u$. Para una variable independiente $x$, su incremento $\Delta x$ es una nueva variable independiente. Para una variable dependiente $y=f(x)$, su incremento es $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, una nueva variable dependiente. Así la derivada se define como $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. También se define el diferencial como $\mathrm dy =f'(x)\Delta x$. Así el diferencial de la variable independiente es $\mathrm dx=\Delta x$ y se puede escribir para cualquier variable $\mathrm dy =f'(x)\mathrm dx$.

Si $y=f(x)$ y $z=g(y)$, entonces $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ y $\mathrm dz=g'(f(x))f'(x)\mathrm dx$, luego $\mathrm dz=g'(y)\mathrm dy$. Vemos, pues, que la fórmula $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ es válida tanto si $x$ es dependiente como independiente, de ahí que la regla de la cadena se escriba $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$. Esta notación de la regla de la cadena falla cuando $\mathrm dy=0$, que puede ser para $y$ (localmente) constante ó para $\Delta x=0$. De hecho, para $\Delta x=0$ la notación de Leibnitz falla siempre, y es un caso a considerar.

Aunque estemos trabajando en una variable $x$, hemos tenido que introducir otra variable independiente $\Delta x$. Lo que tenemos es $\mathrm dy=\mathrm D_x[y] \Delta x$. El segundo differencial será $\mathrm d^2 y=\mathrm D_x[\mathrm D_x[y] \Delta x] \Delta x=\mathrm D^2_x[y]\Delta x^2$, entendiendo $\Delta x^2=(\Delta x)^2$, lo que justifica la notación $\dfrac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}$, entendiendo $\mathrm dx^2=(\mathrm dx)^2$, con la salvedad de $\Delta x=0$. En general $\mathrm d^n y=\mathrm D^n_x[y]\Delta x^n$, lo que justifica $\dfrac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n}$ con la misma salvedad.

Crítica de las notaciones para las derivadas

En anteriores entradas expuse las distintas notaciones para las derivadas ordinarias y derivadas parciales. Creo que podemos dejar de lado la notación de Newton porque, si la interpretamos como derivada respecto al tiempo, no podemos derivar respecto a $x$ y, si la interpretamos como derivada respecto a una variable implícita, estaríamos en la notación de Lagrange pero peor tipográficamente, porque $\mathop{\dot f}\limits^n$ requiere un doble superíndice por encima del nombre del objeto que derivamos, mientras que la notación de Lagrange $f^{(n)}$ tiene un superíndice al lado del objeto, que ocupa mucho menos y ahora espacio vertical. Además, la notación de Lagrange se utiliza ya para este fin, mientras que la notación de Newton tiene el otro uso ya establecido.

La notación de Lebnitz tiene la única ventaja de que indica claramente respecto a qué variable derivamos, lo cual sólo es importante cuando hay varias variables respecto a las que podemos derivar; esto sólo ocurre en un contexto de varias variables, luego la única notación de Leibnitz útil es $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$, y la notación $\dfrac{\mathrm d\square}{\mathrm d\square}$ sólo tiene inconvenientes. Es más fácil poner $f'$ que $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, y $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ como operador no es más que $\mathrm D$ ó, si se quiere remarcar la variable, que $\mathrm D_x$. ¿Para qué emplear dos líneas y potenciar el uso de variables cuando se puede utilizar una sola y potenciar el uso de funciones puras?

Entre la notación de Lagrange y la operacional me quedo con la de Lagrange para funciones puras de expresión breve, es decir, que no haga falta encerrar la función a derivar entre paréntesis. La notación operacional la prefiero para variables dependientes, pues permite explicitar la variable independiente, y cuando la expresión a derivar es compleja, ya que se puede encerrar entre corchetes. Esto en una variable; pasaremos ahora a varias variables.

En varias variables la notación de Lagrange sólo se puede utilizar donde esté garantiza la validez del teorema de Schwarz, y la pseudolagrangiana tiene muchas variantes y resulta confusa. La notación tiene la ventaja de que puede utilizar tres variantes sin lugar a confusión. Para utilizar la notación tipo Leibnitz $\dfrac{\partial\square}{\partial x}$, prefiero utilizar la operacional $\partial_x$, que utiliza la mitad de espacio vertical.

Además, la notación de Leibnitz hace pensar en un cociente y en un denominador conmutativo, cuando ni es cociente (de lo que ya hablaré en otra entrada) ni el denominador es un producto conmutativo.

Notaciones de las derivadas parciales

En la entrada anterior discutí las notaciones de la derivada ordinaria. Ahora voy a tratar sobre las notaciones de las derivadas parciales. Para empezar, las notaciones de Lagrange y de Newton sólo son válidas para una variable, aunque la notación de Newton se puede interpretar como deriva parcial respecto al tiempo. Sí hay notaciones operacionales y notación tipo Leibnitz. Hay una notación usual similar a la de Lagrange que necesita que la variables invariantes esté bautizadas. Así, si $z=f(x,y)$, se pueden denotar las derivadas parciales como $z_x=f_x(x,y)$ y $z_y=f_y(x,y)$. Nótese que utilizamos en nombre de las variables independientes, no su valor; así $z_x|_{x=a}=f_x(a,y)$. Otros utilizan las primas de Lagrange en tándem con el subíndice que indica respecto a qué variable estamos derivando, por ejemplo $z^\prime_x=f^\prime_x(x,y)$.

La notación operacional tiene versiones tanto para funciones puras como para funciones con variables bautizadas. Así $\mathrm D_1$ es la derivada respecto a la primera variable, $\mathrm D_2$ respecto a la segunda, etcétera. Para una variable bautizada $x$ se utiliza el operador $\mathrm D_x$. En lugar de la D se puede utilizar ∂ para denotar que las derivadas son parciales. En la notación de Leibnitz substituye el símbolo $\mathrm d$ por $\partial$. Así se escribe $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$. Personalmente yo prefiero $\mathrm D_1$ ó $\partial_1$ aplicada a funciones puras. Ocupa menos y puede utilizarse tanto para funciones puras como para variables.

Ahora trataré sobre la derivadas parciales de orden superior. Hay notaciones que indican el orden de derivación, como $f_{xy}$, $f^{\prime\prime}_{xy}$, $\mathrm D_{xy}$ y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$. Normalmente se aplica el teorema de Schwarz y el orden de derivación no importa, pudiéndose utilizar la notación de multiíndices como $f^{(1,1)}$ y $\mathrm D^{(1,1)}f$. Nótese que la primera de ellas extiende la notación de Lagrange a varias variables. Es una pena que las notaciones para variables anónimas dependan del teorema Schwarz y no sean válidas en general.