El álgebra lineal como Dios manda

Hace tiempo encontré en la biblioteca el libro Linear Algebra Done Right, donde postergaba los determinantes a una posición marginal, haciendo que las demostraciones no dependan de ellos. Así me habría gustado estudiar el Álgebra Lineal de primero de carrera. Demuestra la existencia de valores propios factorizando el polinomio mínimo. Define el polinomio característico como el polinomio mónico que tiene por raíces los valores propios con multiplicidad la dimensión del correspondiente espacio de vectores propios generalizados. (Esto hace que hablar de multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio pierda su sentido.) A partir del polinomio característico se pueden definir el determinante y la traza y, como curiosidad, calcular sus fórmulas. La caracterización del determinante como la única aplicación multilineal alternada en las columnas que vale 1 para la matriz identidad pasa a ser un teorema de álgebra exterior, no algo necesario en Álgebra Lineal para probar las propiedades más necesarias. Estas ideas están expuestas en el artículo Down with Determinants! del mismo autor.

Hay pocos sitios que recuerde donde los determinantes resultan necesarios. El autor del artículo cita la fórmula del cambio de variables para la integral en varias variables, y la deduce con su definición. Yo lo que recuerdo que aparece un par de veces es una versión débil de la fórmula de la inversa por determinantes: Existen polinomios p₀ y p_ij tales que (a_ij)_ij·(p_ij(a_kl)_kl)_ij=(p_ij(a_kl)_kl)_ij·(a_ij)_ij=p₀(a_ij)_ijI para toda matriz (a_ij)_ij. Otros ejemplos que tengo ahora presentes son la construcción de la extensión de Picard-Vessiot o hacer del GL_n una variedad afín. En ambos casos sólo se utiliza que hay un polinomio que, evaluado en las entradas de una matriz, se anula si y sólo si la matriz no es inversible. Por todo esto, me parece que los determinantes merecen el lugar que se les da en ese libro.