No probé L6+L8

Al final no pasé por la Escuela Oficial de Idiomas y no probé el enlace L6+L8, sino el habitual C1+L8. ¡Vaya viento que hacía hoy! Para la vuelta tomé de nuevo el C2 en Industriales, pero bordeando el complejo Económicas-Industriales por el otro lado. Creo que lo mejor será pasar entre Industriales y el Aulario. Mañana ya veré qué hago.

Probando el paseo

Esta mañana he tomado la habitual combinación C1+L8, pero me ha tocado esperar mucho. Para la vuelta, como era todavía pronto para comer, he probado la combinación paseo+C2, es decir, tomar el C2 en Industriales. El paseo es de 1km según el callejero oficial del Ayuntamiento. Mañana espero probar la combinación L6+L8 desde la Escuela Oficial de Idiomas con enlace en Fuente Dorada.

Problemas con los autobuses

Hoy he vuelto a tomar la combinación C1+L8, aunque mi idea era haber dejado el C1 en Industriales y caminar desde allí. He visto pasar delante de mis narices al C1 en la Calle Andalucía y al 3 en la Avenida San Isidro, así que, por matar un poco el tiempo, crucé a la siguiente parada del C1, en la Calle Cigüeña. Después de estas frustraciones no me quedaban ganas de caminar desde Industriales. A punto estuve de perder el 8 delante de la Cárcel Vieja. Lo habría perdido de haber respetado el semáforo, porque el 8 bajaba por Madre de Dios con el semáforo en verde, pero crucé en rojo y llegué justo para tomarlo. De haberlo perdido, seguro que habría llegado andando, pero no siguiendo su recorrido por la Avenida del Valle del Esgueva, sino por el Camino del Cementerio.

Reconociendo la facultad nueva

Hoy he probado la combinación de autobuses L3+L1. Para coger el 3 tengo que cruzar a Pajarillos, lo que está más lejos de la parada del C1 en la calle Cádiz, pero más cerca de donde me deja el C2 de vuelta en el Paseo San Vicente. El trasbordo entre las líneas 3 y 1 es demasiado largo, pero quería pasar por la Plaza Zorrilla para conseguir un plano de autobuses actualizado en la caseta de Auvasa. El problema es que la línea 1 te deja en San Pedro Regalado, que está un poco lejos de campus, y se entra por zona de obras. Quise también volver con la misma combinación L1+L3, siendo el enlace corto, en la calle Ferrari. Creo que este enlace no es óptimo, porque pasamos dos veces por López Gómez. Creo que el enlace óptimo es en Plaza España.

En la facultad nueva hoy he conocido el sótano, donde hemos tenido un seminario, y el aulario. Allí me he encontrado con una bibliotecaria y me ha contado que la mitad del edificio es la biblioteca del campus, que no sólo comprende la de Ciencias, sino también la de Educación y la de Teleco. Me pregunto qué van a hacer con el hueco en esas Escuelas.

Explorando la facultad nueva

Esta mañana he probado la combinación de autobuses C1+L8 para llegar hasta el campus Miguel Delibes, donde está la nueva facultad de Ciencias. Era una mañana gris, y no ha sido lo único que me recordaba a Groningen. Al igual que el campus Zernike de Groningen, el campus Miguel Delibes está al lado del cementerio. La diferencia está en que este campus está por lado de dento de la ronda, la cual lo separa del cementerio, mientras que aquél está por fuera del exterior ring, al igual que su cementerio. Otra similitud es la pésima señalización de ambos campi. Si en éste he encontrado la facultad es porque ya me habían señalado el edificio desde el Camino del Cementerio mientras estaba en obras. Esta facultad está peor señalizada que aquélla, pero me he conseguido encontrar gracias a que aquí había gente que me conocía y me ha explicado como está distribuido el edificio. Creo que ya me he aprendido cómo están distribuidos los pisos de despachos, pero parece ser que la zona de decanado y seminarios es no trivial.

El análisis de Lagrange

Una de las cosas que me ha llamado la atención sobre la fundamentación pre-ε-δ del Análisis es la obra de Lagrange Théorie des fonctions analytiques [1797] cuyo título completo es

Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'évanouissans, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies.

Como describe en el título, es una fundamentación del Cálculo Diferencial libre de toda consideración de infinitésimos, cantidades evanescentes, límites y fluxiones, que eran los fundamentos dudosos que criticara el obispo Berkeley. Su fundamento es la serie de Taylor, que supone que existe para toda función continua, y éste es su punto flaco, aunque la continuidad no estaba bien definida entonces. Decían vagamente que una función era continua si estaba dada por una sola fórmula, lo que es mucho más restrictivo que nuestra definición de continuidad. Lo que hemos hecho nosotros es utilizar su postulado de la serie de Taylor como definición de las funciones analíticas, y así se salva esta obra para nuestra exigencia de rigor.

En esta obra es donde introduce la notación $f'$ para la derivada de $f$, tres años antes de la notación $\mathrm Df$. Se observa una necesidad de indicar la derivada de una función independientemente de la variable independiente y sin hablar de infinitésimos. Parece ser que, como querían apartarse también de las fluxiones de Newton, descartaron la notación $\dot y$.

Por otro lado, pensando en la introducción del Análisis en el bachillerato, quizás fuera conveniente introducir las funciones analíticas. En el fondo, todas las funciones que van a ver son analíticas a trozos. Así pueden justificar que una función es continua o derivable los intervalos donde es analítica.

Los números hiperreales

Para construir los números hiperreales, según la construcción que he visto en todas las referencias, se parte del anillo $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ de todas las sucesiones de números reales y se establece una dicotomía en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ entre subconjuntos grandes y pequeños de $\mathbb N$ que cumpla las siguientes propiedades.

1. Todo subconjunto finito, incluido el vacío, es pequeño.
2. El complementario de un conjunto pequeño es grande.
3. El complementario de un conjunto grande es pequeño.
4. Un subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
5. La unión finita de conjuntos pequeños es pequeña.

Normalmente se suelen enunciar para conjuntos grandes, pero es equivalente módulo las propiedades 2 y 3. La existencia de tal dicotomía requiere del Axioma de Elección. Normalmente se recurre a la existencia de un ultrafiltro por el Lema de Zorn, pero no me meteré en esto.

Gracias a esta dicotomía se construye una tricotomía en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Dadas dos sucesiones $\underline a=(a_n)_{n=0}^\infty$ y $\underline b=(b_n)_{n=0}^\infty$, los conjuntos de índices $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n>b_n\}$, $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n<b_n\}$ y $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n=b_n\}$ son exactamente dos pequeños y uno grande. Según el que sea grande se dice $\underline a>\underline b$, $\underline a<\underline b$ ó $\underline a\sim\underline b$ respectivamente. Resulta que $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ que respecta el orden y definimos los hiperreales como $^*\mathbb R=\mathbb{R}^\mathbb{N}/\sim$. La inmesión $\mathbb R\subset{^*}\mathbb R$ se hace mediante las sucesiones constantes. La operaciones se hacen término a término. En caso de que un término quedara indefinido, como una división por 0, se completa con ceros o con cualquier número. Da igual con qué número se complete porque se hará en un conjunto pequeño de índices y las sucesiones serán equivalentes.

Nótese que no son sólo las sucesiones convergentes, sino que las sucesiones oscilantes también entran. Por ejemplo, la sucesión alternada $((-1)^n)_{n=0}^\infty$ coincide con la constante $1$ en los términos pares y con la constante $-1$ en los impares. Según sea la dicotomía, exactamente uno de los conjuntos de índices, los pares y los impares, será grande y el otro será pequeño. Así la sucesión alternada será equivalente a $1$ ó a $-1$. Nótese también que diferentes sucesiones convergentes a un mismo número representan diferentes números que difieren en un infinitésimo. Es lo que se llama el halo de un elemento, su parte estándar, que es su límite.

Las funciones de variable real se pueden extender a los hiperreales de la siguiente manera: si $a=[(a_n)_{n=0}^\infty]$, $f$ se extiende como $f(a)=[(f(a_n))_{n=0}^\infty]$. Esto permite definir la continuidad de $f$ en $b\in\mathbb R$ como la contención de la imagen por $f$ del halo de $b$ en el halo de $f(b)$. La derivada de $f$ en $b$ se puede definir como la parte estándar del cociente de infinitésimos.

Es interesante reseñar que la construcción de $^*\mathbb R$ depende de la elección de la dicotomía, que se hace invocando el Axioma de Elección. Si se asume la Hipótesis del Continuo, entonces tenemos la unicidad salvo isomorfismo. De lo que no he encontrado referencias es del contrario: si se niega la Hipótesis del continuo, entonces hay construcciones de $^*\mathbb R$ no ismorfas.

Otras construcciones con infinitesimales

Aparte de los números duales, ya comenté, hay otras extensiones de $\mathbb R$ que incluyen infinitésimos. Hay extensiones de $\mathbb R$ que son series formales en un parámetro $\varepsilon$ infinitesimal. El cuerpo de Levi-Civita $\mathcal R$ está formado por las series formales en $\varepsilon$ con coeficientes en $\mathbb R$, exponentes en $\mathbb Q$ y soporte con la propiedad de que a la izquierda de todo número racional hay sólo una parte finita del soporte. Es decir, los elementos de $\mathcal R$ están determinados por una sucesión de términos $(a_n)_{n=0}^\infty$ en $\mathbb R$ y una sucesión de exponentes $(d_n)_{n=0}^\infty$ en $\mathbb Q$ estrictamente creciente y divergente, de manera que $\sum_{n=0}^\infty a_n \varepsilon^{d_n} \in\mathcal R$. Cito como referencia moderna [Shamseddine, New Elements of Analysis on the Levi-Civita Field, tesis doctoral, 1999].

Otra construcción similar son los números superreales de Tall. Es necesario indicar el autor porque otros autores, como Dales y Woodin, construyeron otro tipo de números también llamados superreales. Los superreales de Tall son las series de Laurent formales $\mathbb R(\!(\varepsilon)\!)$, un subconjunto propio de $\mathcal R$. Ambos son cuerpos ordenados; $\mathcal R$ es real-cerrado y su cierre algebraico es $\mathcal R+\mathrm i\mathcal R$, mientras que $\mathbb R(\!(\varepsilon)\!)$ es más sencillo para trabajar con funciones analíticas. Incluso tiene sentido considerar las series divergentes como con dominio infinitesimal.

En ambos casos un número infinito es una serie con potencias negativas de $\varepsilon$, un número finito es una serie sin potencias negativas de $\varepsilon$ y un infinitésimo es una serie sin potencias negativas de $\varepsilon$ ni término independiente. La parte estándar de un número finito es el término independiente de la serie. Así se puede derivar de la manera que se hace con los números duales, sólo que aquí sí se puede dividir por $\varepsilon$. Después de dividir por $\varepsilon$, tomar la parte estándar es eliminar los términos en potencias superiores de $\varepsilon$, que significa infinitésimos de orden superior. Así pues, la derivada no es un cociente de infinitésismos.

Los números duales

Una de las extensiones de $\mathbb R$ que permite trabajar con infinitesimales son los números duales. Lo que se hace es añadir a $\mathbb R$ un infinitésimo $\varepsilon$ e imponer $\varepsilon^2=0$; formalmente $\mathbb D=\mathbb R[x]/(x^2)$ y $\varepsilon =x+(x^2)$. Ésta es una de las tres posibles $\mathbb R$‑álgebras bidimensionales; las otras son los complejos $\mathbb C=\mathbb R[x]/(x^2+1)$ y los paracomplejos $\mathbb M=\mathbb R[x]/(x^2-1)$. Así se puede tomar $\Delta x=\varepsilon$ y calcular $\Delta(x^2)=(x+\varepsilon)-x^2=2x\varepsilon$.

Los números duales tiene varios inconvenientes. Para empezar, no forman un cuerpo, ni siquiera un dominio de integridad, porque $\varepsilon$ es nilpotente. En particular, no se puede dividir por $\varepsilon$, sólo sacarlo como factor común, luego la notación de Leibnitz es incorrecta con los números duales. No obstante, sirven para calcular con todo rigor con polinomios y series. Sirven también para calcular las ecuaciones del álgebra de Lie de un grupo algebraico lineal, haciendo así honor a la clásica denominación de transformaciones infinitesimales. Una matriz $\mathtt A\in\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ pertenece al álgebra de Lie del grupo algebraico lineal si y sólo si $\mathtt I+\varepsilon\mathtt A$ pertenece a la variedad que define el grupo algebraico ampliada a $\mathbb C[\varepsilon]$.

Crítica de los diferenciales (3)

Dice Euler [Institutiones Calculi Differentialis, 1755, Cap. 3, §83]

Si enim quantitas tam fuerit parva, ut omni quantitate assignabili sit minor, ea certe non poterit non esse nulla; [...] Quaerenti ergo, quid sit quantitas infinite parva in Mathesi, respondemus eam esse revera =0; neque ergo in hac idea tanta Mysteria latent, quanta vulgo putantur et quae pluribus calculum infinite parvorum admodum suspectum reddiderunt.
En efecto, si una cantidad [no negativa] fuese tan pequeña que resultase menor que toda cantidad [positiva] asignable, ella ciertamente no puede ser sino nula; [...] A quien pregunte qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, le respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente.

Así afirma Euler que, si se tiene $0\leq x<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$, entonces necesariamente $x=0$. Es equivalente al axioma de Arquímedes: dados $a$ y $b$ positivos, exite $n$ natural tal que $b<na$. Ambos enunciados niegan la existencia de infinitesimales, números estrictamente positivos y menores que cualquier número positivo. Tales infinitesimales fueron utilizados en los primeros siglos del Cálculo, aunque con reservas desde que el obispo Berkeley los criticara. Que no se diga que la Iglesia critica la ciencia siempre desde el inmovilismo, porque la crítica del obispo Berkeley provocó en la comunidad matemática (tanto entre los seguidores de Newton como entre los de Leibnitz, pues criticó a ambos) una búsqueda de fundamentos rigurosos para el Cálculo. Así se llegó hasta la formulación ε-δ que conocemos en la actualidad, lo que se llama el Análisis estándar.

Aunque los infinitésimos fueron borrados del mapa matemático en el siglo XIX, resucitaron alrededor de 1970 con formulaciones que llamamos Análisis no estándar. Estas formulaciones dependen de resultados de la Lógica desconocidos antes. Unos introducen lo no estándar desde la propia Teoría de Conjuntos. Otros construyen los números hiperreales $^*\mathbb R$ como una extensión de los reales y reducen la lógica de lo no estándar a los teoremas de transferencia, que permiten traspasar teoremas de $\mathbb R$ a $^*\mathbb R$ y al contrario. Esto me recuerda que Leibnitz dijo sobre los infinitésimos que bastará utilizarlos como herramienta ventajosa para el cálculo, del mismo modo que los algebristas utilizan las raíces imaginarias con provecho. En ambos casos se ha construido una extensión de $\mathbb R$ donde viven los infinitésismos y las raíces imaginarias. Son dos extensiones de $\mathbb R$ en direcciones diferentes, pero creo que se puede construir un plano complejo $^*\mathbb C$ sobre $^*\mathbb R$, aunque el nombre de hipercomplejos ya está pillado por otra teoría.

Hay otras ampliaciones de $\mathbb R$ diferentes de $^*\mathbb R$, sobre las que ya trataré si tengo ganas, pero en ninguna de las que conozco la derivada es un cociente de incrementos infinitesimales. En todos los casos hay que descartar los llamados infinitésimos de orden superior. Por ejemplo, al derivar $x^2$ se encuentran $$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2\text,$$ donde descartamos $(\Delta x)^2$ cuando $\Delta x$ es infinitesimal y escriben $\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx+\mathrm dx^2$, donde $\mathrm dx$ es $\Delta x$ restringida a los infinitésimos. Así hacen el cociente $\dfrac{\mathrm d(x^2)}{\mathrm dx}=2x+\mathrm dx$ y descartan $\mathrm dx$ por ser infinitesimal. Por tanto, la derivada no es cociente de infinitésimos, sino que difiere de éste en un infinitésimo. Esta operación puede verse como un paso al límite o como tomar la parte estándar de un número.

Crítica de los diferenciales (2)

En la entrada anterior traté sobre los diferenciales en una variable. Ahora trataré sobre los diferenciales en varias variables. Igualmente, para cada variable independiente $x_i$ creamos una variable independiente $\Delta x_i$ y para cada variable dependiente $y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ creamos una variable dependiente $$\Delta y=f(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,\dots,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,x_2,\dots,x_n) \text,$$ aunque no lo vayamos a utilizar aquí. Lo que sí nos interesa es el diferencial $\mathrm dy=\sum_{i=1}^n\mathrm D_{x_i}[y]\Delta x_i$, que para la variable independiente $x_i$ queda $\mathrm dx_i=\Delta x_i$, como en el caso anterior. La notación tipo Leibnitz en este caso es $\displaystyle\mathrm dy =\sum_{i=1}^n\frac{\partial y}{\partial x_i}\mathrm dx_i$, donde no ha lugar cancelación entre $\mathrm dx_i$ y $\partial x_i$. Aquí se nota claramente que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos, y no hay definición de $\partial y$ y $\partial x_i$ por separado. La notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue introducida por Legendre [Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations, Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Année 1786, pp. 7-37, París, 1788] explicando con una nota a pie de la página 8 lo siguiente

Pour éviter toute ambiguité, je répresentarie par $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ le coefficient de $x$ dans la différence de $v$, et par $\dfrac{dv}{dx}$ la différence complette de $v$ divisée par $dx$.

Tratándose de un coeficiente, queda claro que $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ fue un operador con dos argumentos desde el principio.

Además, la derivada parcial $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ no depende sólo de $v$ y de $x$, sino que depende de todo el sistema de variables independientes. Por ejemplo, si tenemos las variables independientes $x$ e $y$ y la variable dependiente $v=x-y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=1$. Si hacemos el cambio de variable poniendo como independiente $y$ y poniendo en su lugar $z=x+y$, resulta $\dfrac{\partial v}{\partial x}=2$. La trampa está en utilizar el mismo nombre para cosas que cambian, siendo al principio $v=\mathrm{vd}(f,x,y)$ con $f(x,y)=x-y$ y después $v=\mathrm{vd}(g,x,z)$ con $g(x,z)=2x-z$. Aquí podemos decir que $v$ ha cambiado, pero en Geometría Diferencial se utiliza también alegremente la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ operando sobre funciones puras en $\mathcal C^\infty(\mathbb R^2)$ y tenemos el mismo fenómeno, por lo que la notación es ambigua y requiere fijar todo es sistema de coordenadas, no sólo una función respecto a la que se deriva como si fuera una variable independiente.

Concluyendo, la notación $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$ es un operador con dos argumentos que utiliza dos líneas cuando se podría utilizar sólo una y que induce confusión, por lo que debería evitarse.

Crítica de los diferenciales (1)

Como ya comenté en entradas anteriores, la mejor interpretación que se puede dar a la notación de Lebnitz $\dfrac{\mathrm d\square}{\mathrm d\square}$ es un operador con dos argumentos, por lo que no tiene sentido considerar cada $\mathrm d\square$ por separado. Para Leibnitz era un cociente de infinitésimos, pero tales infinitésimos fueron formalizados mucho más tarde (de los que ya hablaré en otra entrada) y ni siquiera allí es un cociente, sino el resultado de una operación hecha sobre el cociente, al igual que la terminología actual, donde la operación es el límite. En ambos casos una fórmula como $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ sugiere qué manipulación ha de hacer en el cociente que define la derivada, pero hay que descomponer la operación (el límite en nuestro caso) en dos por el producto.

Algunos, para darle valor a $\mathrm d\square$, lo definen de manera que $\mathrm dy =\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\mathrm dx$, pero definiendo primero la derivada y después el diferencial. Con esta terminología es necesario definir los incrementos de la variables. Para cada variable $u$ se introduce su incremento como la variable $\Delta u$. Para una variable independiente $x$, su incremento $\Delta x$ es una nueva variable independiente. Para una variable dependiente $y=f(x)$, su incremento es $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, una nueva variable dependiente. Así la derivada se define como $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. También se define el diferencial como $\mathrm dy =f'(x)\Delta x$. Así el diferencial de la variable independiente es $\mathrm dx=\Delta x$ y se puede escribir para cualquier variable $\mathrm dy =f'(x)\mathrm dx$.

Si $y=f(x)$ y $z=g(y)$, entonces $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ y $\mathrm dz=g'(f(x))f'(x)\mathrm dx$, luego $\mathrm dz=g'(y)\mathrm dy$. Vemos, pues, que la fórmula $\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx$ es válida tanto si $x$ es dependiente como independiente, de ahí que la regla de la cadena se escriba $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$. Esta notación de la regla de la cadena falla cuando $\mathrm dy=0$, que puede ser para $y$ (localmente) constante ó para $\Delta x=0$. De hecho, para $\Delta x=0$ la notación de Leibnitz falla siempre, y es un caso a considerar.

Aunque estemos trabajando en una variable $x$, hemos tenido que introducir otra variable independiente $\Delta x$. Lo que tenemos es $\mathrm dy=\mathrm D_x[y] \Delta x$. El segundo differencial será $\mathrm d^2 y=\mathrm D_x[\mathrm D_x[y] \Delta x] \Delta x=\mathrm D^2_x[y]\Delta x^2$, entendiendo $\Delta x^2=(\Delta x)^2$, lo que justifica la notación $\dfrac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}$, entendiendo $\mathrm dx^2=(\mathrm dx)^2$, con la salvedad de $\Delta x=0$. En general $\mathrm d^n y=\mathrm D^n_x[y]\Delta x^n$, lo que justifica $\dfrac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n}$ con la misma salvedad.

Crítica de las notaciones para las derivadas

En anteriores entradas expuse las distintas notaciones para las derivadas ordinarias y derivadas parciales. Creo que podemos dejar de lado la notación de Newton porque, si la interpretamos como derivada respecto al tiempo, no podemos derivar respecto a $x$ y, si la interpretamos como derivada respecto a una variable implícita, estaríamos en la notación de Lagrange pero peor tipográficamente, porque $\mathop{\dot f}\limits^n$ requiere un doble superíndice por encima del nombre del objeto que derivamos, mientras que la notación de Lagrange $f^{(n)}$ tiene un superíndice al lado del objeto, que ocupa mucho menos y ahora espacio vertical. Además, la notación de Lagrange se utiliza ya para este fin, mientras que la notación de Newton tiene el otro uso ya establecido.

La notación de Lebnitz tiene la única ventaja de que indica claramente respecto a qué variable derivamos, lo cual sólo es importante cuando hay varias variables respecto a las que podemos derivar; esto sólo ocurre en un contexto de varias variables, luego la única notación de Leibnitz útil es $\dfrac{\partial\square}{\partial\square}$, y la notación $\dfrac{\mathrm d\square}{\mathrm d\square}$ sólo tiene inconvenientes. Es más fácil poner $f'$ que $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, y $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ como operador no es más que $\mathrm D$ ó, si se quiere remarcar la variable, que $\mathrm D_x$. ¿Para qué emplear dos líneas y potenciar el uso de variables cuando se puede utilizar una sola y potenciar el uso de funciones puras?

Entre la notación de Lagrange y la operacional me quedo con la de Lagrange para funciones puras de expresión breve, es decir, que no haga falta encerrar la función a derivar entre paréntesis. La notación operacional la prefiero para variables dependientes, pues permite explicitar la variable independiente, y cuando la expresión a derivar es compleja, ya que se puede encerrar entre corchetes. Esto en una variable; pasaremos ahora a varias variables.

En varias variables la notación de Lagrange sólo se puede utilizar donde esté garantiza la validez del teorema de Schwarz, y la pseudolagrangiana tiene muchas variantes y resulta confusa. La notación tiene la ventaja de que puede utilizar tres variantes sin lugar a confusión. Para utilizar la notación tipo Leibnitz $\dfrac{\partial\square}{\partial x}$, prefiero utilizar la operacional $\partial_x$, que utiliza la mitad de espacio vertical.

Además, la notación de Leibnitz hace pensar en un cociente y en un denominador conmutativo, cuando ni es cociente (de lo que ya hablaré en otra entrada) ni el denominador es un producto conmutativo.

Notaciones de las derivadas parciales

En la entrada anterior discutí las notaciones de la derivada ordinaria. Ahora voy a tratar sobre las notaciones de las derivadas parciales. Para empezar, las notaciones de Lagrange y de Newton sólo son válidas para una variable, aunque la notación de Newton se puede interpretar como deriva parcial respecto al tiempo. Sí hay notaciones operacionales y notación tipo Leibnitz. Hay una notación usual similar a la de Lagrange que necesita que la variables invariantes esté bautizadas. Así, si $z=f(x,y)$, se pueden denotar las derivadas parciales como $z_x=f_x(x,y)$ y $z_y=f_y(x,y)$. Nótese que utilizamos en nombre de las variables independientes, no su valor; así $z_x|_{x=a}=f_x(a,y)$. Otros utilizan las primas de Lagrange en tándem con el subíndice que indica respecto a qué variable estamos derivando, por ejemplo $z^\prime_x=f^\prime_x(x,y)$.

La notación operacional tiene versiones tanto para funciones puras como para funciones con variables bautizadas. Así $\mathrm D_1$ es la derivada respecto a la primera variable, $\mathrm D_2$ respecto a la segunda, etcétera. Para una variable bautizada $x$ se utiliza el operador $\mathrm D_x$. En lugar de la D se puede utilizar ∂ para denotar que las derivadas son parciales. En la notación de Leibnitz substituye el símbolo $\mathrm d$ por $\partial$. Así se escribe $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$. Personalmente yo prefiero $\mathrm D_1$ ó $\partial_1$ aplicada a funciones puras. Ocupa menos y puede utilizarse tanto para funciones puras como para variables.

Ahora trataré sobre la derivadas parciales de orden superior. Hay notaciones que indican el orden de derivación, como $f_{xy}$, $f^{\prime\prime}_{xy}$, $\mathrm D_{xy}$ y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$. Normalmente se aplica el teorema de Schwarz y el orden de derivación no importa, pudiéndose utilizar la notación de multiíndices como $f^{(1,1)}$ y $\mathrm D^{(1,1)}f$. Nótese que la primera de ellas extiende la notación de Lagrange a varias variables. Es una pena que las notaciones para variables anónimas dependan del teorema Schwarz y no sean válidas en general.

Cuestiones de ortotipografía matemática

Al escribir la entrada anterior las notaciones de la derivada ordinaria me surgió un problema. Hace tiempo que llevo escribiendo los números $\mathrm e$, $\mathrm i$ y π sin cursiva, del mismo modo que escribimos las cifras sin cursiva, por cuestiones de ortotipografía matemática. Del mismo modo escribo $\mathrm d$ en la notación de Leibnitz, que es un símbolo en tándem con otro $\mathrm d$ en una falsa fracción o con un signo integral $\int$. Ya discutiré en otra entrada el posible significado de $\mathrm{d}x$ por sí solo. Por coherencia utilicé para una $\mathrm D$ sin cursiva para el operador de derivación. En su uso original [Arbogast, De Calcul des Dérivations, 1800], el operador de derivación iba sin cursiva y en versalita; así escribe $\mathrm{\scriptsize D}F$ y $\mathrm{\scriptsize D}\varphi$. Así Arbogast puede utilizar tanto $d$ y $D$ como coeficientes sin confusión con los operadores diferenciales. El problema surge cuando el $\mathrm\LaTeX$ básico de MathJax no tiene más que una $\pi$ en cursiva y una $\partial$ que no se vé claramente si es cursiva o no. Si nos atenemos a Arbogast, $\partial$ sí es cursiva. Para escribir en HTML puedo utilizar π y ∂, pero no en las fórmulas en $\mathrm\LaTeX$. Aquí me surge la duda: ¿debo seguir utilizando las notaciones sin cursiva allí donde pueda o, ya que no puedo hacer consistentemente en todos los casos, ponerlos todos en cursiva por coherencia?

Notaciones de la derivada ordinaria

Toda esta serie ¿Qué es una variable en matemáticas? [1, 2, 3, 4] está inspirada por lo que voy a escribir a continuación, una discusión sobre las distintas notaciones de la derivada. Empezaré con mis favoritas: la de Lagrange y la operacional. Ambas se aplican a funciones puras, aunque se pueden aplicar también a funciones con variables bautizadas y, con un ligero abuso, a variables dependientes. Con la notación de Lagrange, la derivada de $f$ es $f'$ y, si la función tenía bautizada la variable, lo hereda la derivada. Para aplicar la notación de Lagrange a una variable dependiente tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $y'=f(x)$. Desde luego yo prefiero $f'(x)$ a $y'$, pero también se utiliza $y'$ y también he visto cosas como $(x^2+1)'=2x$. Así pues, es preferible poner $f'(x)$ que $f(x)'$, porque la primera es la derivada de una función (evaluada en $x$ o recordando que su variable es $x$, según el contexto) y la segunda es la derivada de una variable dependiente. Además, si $y$ es una variable dependiente, no es igual $f'(y)$ que $f(y)'$. De hecho, la regla de la cadena se puede enunciar como $f(y)'=f'(y)\cdot y'$, aunque yo prefiero enunciarla para funciones puras como $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$.

La notación operacional es atribuida por muchos a Euler, pero según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §577] esta notación la introdujo con su significado actual Arbogast [De Calcul des Dérivations, 1800]. En notación, la derivada de $f$ es $\mathrm{D}f$. Si se quiere delimitar dónde actúa, se puede poner $D[f]$; por ejemplo, la regla de Leibnitz quedaría como $ \mathrm{D}[f\cdot g]= \mathrm{D}[f]\cdot g+f\cdot\mathrm{D}[g]$. Al igual que con la notación de Lagrange, para aplicarla a una variable dependiente, tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $\mathrm{D}[y]=\mathrm{D}[f](x)$. Así, por ejemplo, se puede ver $\mathrm{D}[x^2+1]=2x$. Además de ser válidas para esta notación las observaciones que hice para la de Lagrange, se tiene la ambigüedad en la expresión $\mathrm{D}f(x)$. ¿Qué significa, $\mathrm{D}[f](x)$ o $\mathrm{D}[f(x)]$? Desde luego yo prefiero la primera interpretación, pero se presta a confusión e incluso, si $x$ es una variable dependiente, pueden tener diferente valor.

Después de introducir mis notaciones preferidas, introduciré las de los padres del Cálculo: Newton y Leibnitz. Con la notación de Newton, la fluxión de $x$ es $\dot x$. En principio, esta notación se podría emplear para cualquier función de cualquier variable, pero en la práctica se ha especializado para variables dependientes del tiempo. Esto significa que la variable independiente implícita es $t$, pero hay usos en Relatividad donde $t$ es una variable espacio-temporal más y la notación de Newton indica derivación con respecto a $\tau$, el tiempo propio. Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §567] indica que, para derivadas respecto a otras variables, Newton utilizaba $\dot y:\dot x$ pero, como ha caído en desuso, no voy a comentarlo. Otra desventaja de esta notación es aplicarla a una expresión compuesta. Newton recurría a barras como $\overline{x+y}$ para agrupar, pero era también la forma mcomún de agrupar antes de que se impusieran los paréntesis. Con paréntesis quedaría como $(x+y)^{\textstyle\cdot}=\dot x+\dot y$.

Finalmente introduzco la notación de Leibnitz, que es la que menos me gusta. En principio se utiliza para variables dependientes. La derivada de $y$ con respecto a $x$ se denota $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Para funciones, se puede convertir en la derivada de una variable dependiente como $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ ó definir $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=f'$. Tiene la desventaja de tener que bautizar a la variable de una función pura, aparte de que el operador tiene altura doble y ocupa mucho más espacio que $\mathrm{D}$ ó que la notación de Lagrange. Pero lo peor de todo es que, aunque es operador $\dfrac{\mathrm{d}\square}{\mathrm{d}\square}$ con dos argumentos, tiene apariencia de cociente e induce a pensar en cancelaciones prohibidas. Ya hablaré en otra entrada sobre las desventajas de esta notación.

Para terminar compararé las diferentes notaciones de las derivadas de orden superior. En la notación de Lagrange se suele utilizar $f',f'',f''',f^\mathrm{IV}$ continuando con números romanos, como para las fracciones sexagesimales, o de la forma $f^{(n)}$. En la notación operacional, evidentemente, se utiliza $\mathrm D^n$. Ambas notaciones admiten la notación $f^{(-1)}$ y $\mathrm D^{-1}$ para la antiderivada o primitiva. La notación de Newton continúa añadiendo puntos encima de la forma $\dot x,\ddot x, \dot{\ddot x},\ddot{\ddot x}$ ó, según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §579], de la forma $\mathop{\dot x}\limits^n$. La antiderivada (fluente para Newton) se denota $\mathop{x}\limits^{\scriptscriptstyle|}$ según Cajori [§567]. En la notación de Leibnitz se suele escribir $\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$, que no hace más que crear confusión. La antiderivada es todavía más complicada: la inversa de $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ es $\int\square\mathrm{d}x$.

¿Qué es una variable en matemáticas? (4)

En la entrada anterior propuse una formalización de variables dependientes e independientes, y llegué a la conclusión de que la regla de la cadena $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$ para $y=f(x)$ y $z=g(y)$ no es válida porque $y$ es una variable dependiente y no se puede derivar respecto a ella. Maple sigue el mismo criterio y da un error si se quiere calcular diff(z,y), pero calcula perfectamente diff(z,x). La forma correcta sería $y=f(x)$, $v=g(u)$, $z=v|_{u=y}=g(y)$ y $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}= \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}\right|_{u=y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text,$$ que ya no es simplificar un cociente.

Como se puede notar en el párrafo anterior, utilizo $y|_{x=a}=f(a)$ para $y=f(x)$, y creo que, ya que la composición se indica de distinta manera, la evaluación se indique de distinta manera. Maple distingue claramente las variables dependientes de las funciones, evaluándose las primeras eval(y,x=a) y las segundas f(a). Aunque se podría confundir, por abuso de notación, una variable dependiente con la función que la define, creo que es mejor distinguirla, e interpretar enunciados como $f=f(x)$ como una denominación de las variable de la función. Es cierto que la estructura subyacente para una función con variables bautizadas es la misma que la de una variable dependiente, pero $y\neq f$ porque $f=\mathrm{func}(f,x)$ (con abuso de notación llamando $f$ tanto a la función de variables bautizadas como a la función de variables anónimas). Su comportamiento es diferente ante composiciones, evaluaciones y substituciones.

Esto es sólo una propuesta de como formalizar el uso de variables dependientes e independientes de manera que los usos comunes de éstas sean mínimos abusos de notación. Me gustaría recibir críticas.

¿Qué es una variable en matemáticas? (3)

A diferencia de los polinomios, sobre los que trataba la primera parte de esta serie, la funciones no tienen una función destacada a la que podemos denominar $x$ y llamarla variable. Lo más parecido es la identidad, pero la identidad es otra función con la que se compone, no un punto del dominio donde se aplica. Lo correcto sería $f\circ\mathrm{id}$, no $f(\mathrm{id})$. No tenemos una notación, como con los polinomios, donde un nombre no asignado, como $x$, pase a estar asignado a ese anillo de funciones, o a su dominio, o al anillo y a un índice en el caso de varias variables. Por ejemplo, podríamos escribir $\mathcal C(x\in U)$ ó $\mathcal C(x: U)$ en lugar de $\mathcal C(U)$ para indicar que $x$ es la variable asignada a ese anillo. Así podríamos decir indistintamente $f$ ó $f(x)$ con la misma libertad con que lo decimos con los polinomios. Esto se extiende fácilmente a varias variables como $\mathcal C((x,y)\in V)$ ó $\mathcal C(x,y: V)$. Así tendría sentido derivar respecto a $x$ o respecto a $y$.

Ya hemos visto las variables independientes, pero ¿qué son matemáticamente las variables dependientes? Utilizando la anterior formalización de las variables independientes, una variable dependiente podría ser una función junto con nombres de variables independientes para sus argumentos, y se podría aceptar fórmulas del tipo $y=f(x)$ por $y=\mathrm{vd}(f,x)$, incluso si en el anillo al que pertenece $f$ no hemos definido una variable independiente. Podemos entender toda variable independiente también como variable dependiente con la igualdad $x=x$ que quiere decir $x=\mathrm{vd}(\mathrm{id},x)$. Las variables dependientes se pueden sumar, multiplicar y se puede aplicarles funciones, por ejemplo, $z=g(y)$ por $z=\mathrm{vd}(g\circ f,x)$, siendo $y=\mathrm{vd}(f,x)$. Lo que conviene señalar es que, si queremos derivar respecto de variables, éstas han de ser variables independientes. Si ya tenemos $y=\mathrm{vd}(f,x)$, no se puede pretender que $z=g(y)$ sea $z=\mathrm{vd}(g,y)$. Ésta es una de las razones por la que la regla de la cadena no es una cancelación de diferenciales. (La otra razón es que una derivada no es cociente de diferenciales.) Por ejemplo, no se puede poner $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$ porque $y$ no es una variable independiente respecto de la cual se pueda derivar. Se puede poner $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=g'(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text.$$

¿Qué es una variable en matemáticas? (2)

En la primera parte de esta serie traté sobre qué es un variable cuando hablamos de polinomios. Lo que dije allí es válido para series de potencias. Por ejemplo, las series formales sobre un anillo $A$ (las sucesiones cualesquiera con el producto de Cauchy) se denotan $A[[x]]$ queriendo decir "el anillo de series formales en $A$ donde llamamos $x$ a la serie destacada". También vale para series en varias variables y para series convergentes. El problema con estas últimas es que se pueden confundir con la función analítica que definen. Entre los polinomios no hay tal confusión, porque si están evaluados en la variable $x$ es una forma redundante de expresar la variable del polinomio, pero también coincide con la substitución de $x$ por ella misma. Lo mismo ocurre con las series formales, pero las series convergentes sólo se pueden evaluarse dentro de su radio de convergencia, que puede ser menor que el dominio de la función analítica que induce. Por ejemplo, la serie de potencias $1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ define la función racional $\dfrac1{x^2+1}$, que es analítica en todo $\mathbb R$, pero el radio de convergencia de la serie es $1$, por lo que sólo define una función en $(-1,1)$. El resto es prolongación analítica. Para polinomios y series de potencias tiene sentido derivar respecto a $x$ porque, como dije en la entrada anterior, es más que un elemento destacado del anillo; es un símbolo asociado al anillo y, en el caso de varias variables, a un índice.

Otro tipo de variables son las variables mudas, por ejemplo, $i$ en $\sum\limits_{i=0}^n a_i$ y $x$ en $\int f(x)\mathrm{d}x$ y en $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$. Ambas varían en un dominio definido, discreto o continuo, y se pueden sustituir en todas sus apariciones por otro símbolo no usado, por ejemplo, $\sum\limits_{i=0}^n a_i=\sum\limits_{j=0}^n a_j$, $\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(t)\mathrm{d}t$ y $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{t\to\infty}f(t)$. Las variable mudas son locales, por lo que pueden utilizarse varias veces para distinto fin sin contradicción. También es variable muda la $x$ en $x\mapsto x^2$. Me entretengo con las variables mudas porque muchas veces lo que se está utilizando informalmente es una variable muda, por ejemplo, cuando se dice "sea la función $f(x)=x^2$" lo que se quiere decir es "sea la función $f$ dada por $f(x)=x^2$ para todo $x\in\mathbb R$" ó "sea $f: x\mapsto x^2$".

La próxima entrada tratará sobre las variables dependientes e independiente.

¿Qué es una variable en matemáticas? (1)

Pensando en las diferentes notaciones para la derivación me he llegado a preguntar qué son las variables en matemáticas. Cuando decimos $y=f(x)$, ¿qué es $x$ y qué es $y$? ¿Por qué se dice análisis en una o varias variable si se trata con funciones? Creo que la discusión va a dar para una serie de entradas.

Recuerdo de mis primeras clases en la carrera de matemáticas que nos construyeron formalmente el anillo de polinomios en un anillo $A$. Primero definimos el conjunto de los polinomios como las sucesiones en $A$ (las aplicaciones $\mathbb{N}\to A$) con con una cantidad finita de términos no nulos. Con la suma términos a término y el producto de Cauchy, queda construido un anillo isomorfo a los polinomios en una variable que conocemos usualmente, pero sin variable. La notación más natural para tal anillo sería $\mathrm{Pol}(A)$ en lugar de $A[x]$. Además, ¿qué es $x$? Si definimos $x=(0,1,0,\dots,0,\dots)$, podemos expresar los polinomios como $(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots,0,\dots)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n$, a la manera usual. Así es que $x$ no es sino un polinomio destacado, cuya función polinómica asociada es la identidad. Al decir "$A[x]$" estamos queriendo decir "$\mathrm{Pol}(A)$ donde llamamos $x$ al polinomio destacado". Esto si $x$ era un nombre sin asignar, porque si $x$ fuese un elemento de una extensión $B$ de $A$, $A[x]$ sería el menor subanillo de $B$ que contiene a $A$ y a $x$.

Para los polinomios en varias variables se generalizaría fácilmente. Podríamos definir $\mathrm{Pol}_n(A)$ como el anillo de la aplicaciones $\mathbb{N}^n\to A$ con la suma y el producto adecuados para conseguir una anillo isomorfo a los polinimios usuales y construir los poliniomios destacados $x_1,x_2,\dots,x_n$, a los que podemos llamar variables. Así, al decir "$A[x,y]$" estamos queriendo decir "$\mathrm{Pol}_2(A)$ donde llamamos $x$ al primer polinomio destacado e $y$ al segundo". Creo que esta construcción es más manejable que la construcción iterada $A[x,y]=A[x][y]$ que dimos en aquel curso.

De todas maneras, creo que no basta con definir como variable un polinomio destacado, sino que también necesitamos que el nombre esté asignado al anillo, con un índice en el caso de varias variables, de manera que se pueda definir la derivación respecto a una variable. Así pues una variable es más que un polinomio destacado.

LaTeX en Blogspot (3)

Otra forma de poner fórmulas en Blogspot, sin scripts es mediante el siguente código:

<img src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=código LaTeX" />

Por ejemplo, el siguiente código

<img src="http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{1\pm\sqrt5}{2}"/>

produce . Tiene las mismas desventajas que en la primera entrega LaTeX en Blogspot, más la desventaja de tener que añadir HTML a pelo, pero tiene la ventaja de que se puede añadir texto alternativo para mostrar si no se pude cargar la imagen de la fórmula.

LaTeX en Blogspot (2)

Dejando un poco de lado y mis aventuras en Grenoble, voy a tratar aquí sobre otras soluciones para LaTeX en Blogspot, ya que el truco que di en LaTeX en Blogspot ha dejado de funcionar en el nuevo diseño de Blogger. El truco es insertar el siguiente script:

<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript"> MathJax.Hub.Config({
extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],
tex2jax: {
inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
},
"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>

Así puedo escribir tanto en línea $\mathbb{R}^2$ como centrado $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text.$$ Tiene la desventaja, al igual que el antrior truco, que dependes de un servicio externo, pero me convence más. A ver si lo uso.

El póster llega a casa

Como ya conté en Jueves: los preparativos, me envié por correo a casa el póster en un tubo rígido de cartón. Pues me ha llegado hoy por correo. También me envié por correo parte del equipaje desde Groningen, pero aquella vez la parte española se la encargaron a MRW. La tardanza de aquella vez es atribuible al temporal de nieve, pero la de esta vez no sé a qué es. Más aún, como se ve en esta foto, lo mandaron antes de ayer en avión desde Roissy (aeropuerto CDG) a Madrid, luego la parte española fue relativamente rápida. ¿Estuvo todo este tiempo esperando en París hasta que juntar un envío?

Por cierto, el código UX1028 corresponde a un vuelo de Air Europa. Otra cosa que sucedió con el franqueo y se me olvidó poner en aquella entrada es que el sello de la máquina salió cortado. Yo se lo di a la señora de La Poste y ella pegó las dos partes juntas y escribió Bien Affranchi (bien franqueado) y la cantidad. Al ver ahora el paquete observo que pone prioritario, cuando yo le dije a la señora que lo quería no prioritario. Seguramente me entendió mal. Pero, si esto es prioritario, ¿cuánto habría tardado si me lo ponen no prioritario como pedí? ¿Lo habrían dejado almacenado todo el verano? Además, aunque me saliera un poco más caro, me salió mucho más barato que llevarlo en mi vuelo, con la comodidad de no tener que llevarlo a rastras todo el viaje. Incluso me salió mucho más barato que la tarifa que indica Correos en su página para el trayecto inverso.

Jueves: viaje de vuelta

Éste fue el plan de viaje:

12:00 Salida del autobús de Grenoble
13:05 Llegada a Lyon Saint-Exupéry
15:10 Apertura del embarque
17:30 Llegada a Barajas viejo
18:30 Llegada a la Avenida de América
19:00 Salida a Burgos en la Continental
21:45 Llegada a Burgos en la Continental
22:45 Llegada a Palacios en coche

Todo marchó sobre ruedas. Lo que tengo en duda es cómo tardamos tanto desde Barajas a la Avenida de América. Tuve suerte de que no me falló nada. Lo único que a casa llegué con hambre después de haber comido a la 1pm. En resumidas cuentas, todo el viaje y estancia en Grenoble me fue muy bien, a pesar de los contratiempos.

Jueves: los preparativos

Esta mañana me levanté pronto para tener tiempo para hacer las cosas que quería hacer. No sólo hacer la maleta, sino también enviar por correo a casa el póster y comprar un bocadillo para la comida en el aeropuerto. Después de desayunar estuve preparando la maleta, que en realidad es una bolsa-mochila, con cuidado de que cupiera todo, pues llevaba más de lo que traía. Menos mal que cupo todo, porque en caso contrario tendría que facturar o mandármelo por correo. Estuve entretenido con el equipaje hasta que se hicieron las 9:00, hora a la que esperaba que abrieran las oficinas de correos, La Poste. Pregunté en recepción cuál era la oficina de correos más cercana, y me dijeron que la Alsace-Lorraine. Fui a esa oficina y estaba cerraba. Según un cartel en la puerta, en verano abrían a las 12:00. Como mi idea era coger el autobús precisamente a las 12:00, descarté la idea de volver más tarde.

Como cuento en Exploracion del territorio, el sábado encontré por casualidad otra oficina de correos en Saint Bruno, así que decidí probar suerte allí. Encontré esta oficina abierta y con un cartel que decía que en verano abrían de 9 a 12, de lo cual deduje que el plan de verano era abrir la mitad de las oficinas por la mañana y la otra mitad por la tarde. Tuve suerte, porque si hubiera encontrado la oficina de Saint Bruno cerrado, seguramente habría desistido de enviar el póster. Quizás habría probado suerte en la oficina central, si es que pillaba cerca, pero tuve suerte. También tuve suerte de que el chico que me atendió hablaba un poco de español. En el hotel me dijeron que en La Poste podría encontrar embalaje adecuado, un tubo, para el póster, pero el chico me dijo que no tenían. Otra vez como antes.

Tuve suerte de encontrar una tienda de reprografía en el Cours Berriat, cerca de la oficina de correos de Saint Bruno, y tuve suerte de que había un tío que hablaba español. Cogió un tubo que seguramente era de un rollo de papel, lo cortó con un serrucho para dar la medida de póster y precintó los extremos. Aproveché para meter en el tuvo también los tacos de fotocopias para no tener problemas con ellos en el equipaje. Me cobró 2€ y seguramente se aprovechó de mí, pero me ahorré muchísimo más pudiendo mandarme el póster por correo. Ahora sí me lo aceptaron el La Poste, y el precio por envío a España era menos de la mitad de lo que me pedía Correos por el trayecto contrario. Hice bien en seguir el consejo de imprimir el póster en Grenoble, en lugar de imprimirlo en España y haberlo llevado en el avión o habérmelo enviado por correo al hotel.

Ya estaba hecho lo que tenía que hacer, no recuerdo a qué hora, así que decidí acabar el equipaje y dejarlo en recepción, porque debía abandonar la habitación antes de las 11. Me di un paseo por Grenoble, que sólo había visto someramente desde el tranvía y lo poco que habíamos deambulado buscando dónde cenar. Como los supermercados sí estaban abiertos, me compré en un Spar un bocadillo para comérmelo en el aeropuerto. Volví al hotel a por el equipaje y ya sólo me quedaba viajar.

Miércoles: la excursión

Tenía ya el póster recogido, no tenía la prisa de hacer el equipaje para marchar hoy mismo, ni tenía que exponer más el póster, por lo que hoy me podía tomar el día con calma. La mañana transcurrió sin incidentes, y para después de comer estaba planeada la excursión. Mucha gente, en especial los japoneses, llevó el equipaje al simposio. La organización dijo que podíamos dejar el equipaje en el autobús y que, a la vuelta de la excursión, el autobús nos dejaría en la estación de trenes, Gares, que me venía estupendo para ir a mi hotel. Si lo hubiera sabido, habría dejado el póster colgado hasta hoy, pero ya estaba hecho.

Después de comer fue la excursión a la Grande Chartreuse, la gran Cartuja, como bien deduje etimológicamente y pude corroborar cuando empezaron a hablar de San Bruno. La visita era primero a un museo que consistía en varias celdas de cartujo explicando las diversas actividades en la vida de un cartujo, y después una caminata 2km cuesta arriba para ver la verdadera cartuja, pero sólo por fuera, porque había monjes en ella. Yo me entretuve mucho en la primera parte y, cuando quise tomar la cuesta arriba, ya la gente estaba bajando, así que tuve que acelerar en la bajada, aunque no fui el último.

Yo esperaba que en Gares quedáramos para cenar, pero hicieron una parada previa en Victor Hugo y no pude quedar con nadie. Como tenía tiempo, me duché y fui a Victor Hugo a las 8pm para ver si podía acoplarme a algún grupo. No estaban los chicos con los que salí a cenar los días anteriores, y no salían grupos, sino personas sueltas a las que me daba palo acoplarme. Así que tuve que cenar solo, como el sábado.

Martes: ¿recogemos el póster?

Este día transcurrió sin ningún incidente. A las 3:10pm empezaba la última sesión de póster que, como la de ayer, se juntó con la pausa del café, pero no con la comida. La sesión de pósteres marchó como la anterior, aunque fue menos extenuante que la de ayer porque duró la mitad de tiempo. Después del café seguían sesiones paralelas. En una de ellas coincidí en el pupitre con otra española que iba a exponer en esa sesión. Me preguntó por mi trabajo y por si lo tenía colgado en alguna parte. Yo entendí que se refería al póster, que estaba físicamente colgado en un panel, y le dije que sí, que en los paneles de arriba. Ella me contestó que el póster ya lo había visto. Entonces entendí que se refería a colgado en internet, por ejemplo, en el arXiv. Entre risas le contesté que no, que estaba todavía en redacción.

Mi plan original era dejar el póster hasta el final y recogerlo el último día, pero estaba la excursión a la Gran Cartuja, y necesitaba saber si podíamos dejar equipaje en el autobús. Se lo pregunté al organizador de asuntos locales y me dijo que no sabía. Como no lo tenía garantizado y no quería llevar el póster conmigo en la excursión, decidí que debía recogerlo ya y llevármelo al hotel. Esto significaba no poder ir directamente a la cena social aunque se hiciera tarde.

Después vino una presentación de Maple donde el tío de Maplesoft perdió un montón de tiempo presentando las virguerías gráfica que podía hacer y luego se vio apurado para presentar la parte que interesa a los matemáticos. Llegábamos ya demasiado tarde, por eso mucha gente se fue directamente a la cena social, bajándose del tranvía en Hubert Dubedout, aunque a los del hotel Angleterre, que eran una buena cuadrilla, les costaba poco bajarse en Victor Hugo y dejar las cosas en el hotel. De cualquiera de las dos paradas tenían sólo 450m hasta la base del teleférico. Después teníamos pase gratis para subir (y también para bajar) por el teleférico a la Bastilla, un castillo desde donde se veía todo Grenoble y donde está el restaurante donde tendría lugar la cena social.

Así pues, me bajé en Victor Hugo con el póster enrollado y fui andando deprisa hasta el hotel. Allí lo dejé junto con el resto de las cosas que no iba a necesitar, pero no tenía tiempo para ducharme, sólo para cambiarme de ropa. Pregunté en recepción por el camino más corto al teleférico, y resultó que era facilísimo, casi en línea recta. Ver mapa. Llegué cuando ya habían empezado el aperitivo, pero no el banquete. Por mucho que dijera "cena de gala", la gente vistió informal, muchos literalmente lo que llevaban en el simposio, porque ni pudieron pasar por el hotel a cambiarse.

Durante la cena entregaron los premios a la mejor comunicación en diversas categorías. Acabada la cena y dispersada la gente, cogí el teleférico hacia abajo y volví al hotel, que todavía quedaba ducharme. Todavía quedaba un día, aunque ya se había acabado lo del póster.

Lunes: después del póster

Al acabar la sesión extendida del pósteres, hubo dos sesiones paralelas, una de las cuales me interesaba. La sesión acababa a las 6pm, y entonces tenía idea de marchar de vuelta para tener tiempo de ducharme sin correr, pero uno de los organizadores nos metió, al más puro estilo de maestra con los niños, a la asamblea que había a continuación. En cierta manera esa asamblea parecía el COI, pues se presentó la próxima sede (Boston), se votó la sede parta 2014 (Kobe, Japón, candidatura única) y se renovó una vacante en el comité. Al igual que con las Olimpiadas, hay una rotación de continentes en las sedes.

Una de las cosas que se explicaron en la asamblea general es que era la primera vez que no se entregaban las actas del simposio en papel a los participantes, sino en una memoria USB. Estos franceses las llaman llaves USB y, supongo que por eso, nos dieron una memoria USB en forma de llave. Esto viene a abundar en lo que escribí en El BOE se actualiza, ¿y los MR? y en Artículo, no paper. No son las primera actas que entregan en formato electrónico. En el congreso de Barcelona nos las entregaron en un CD. De hecho estuvieron más avanzados en Barcelona porque allí las actas fueron sólo electrónicas, mientra que aquí ofrecían la versión impresa (por 20€) a los nostálgicos del papel.

Para alguien que va por primera vez a ese simposio, resultó interesante enterarse de algunos de los entresijos de la organización, pero más me valía haberme ido a duchar. La asamblea acabó a las 7:30pm, lo justo para llegar a Victor Hugo a las 8pm. Los que se alojaban en el hotel Angleterre pudieron dejar sus cosas en el hotel, pero los que vivíamos más lejos sólo pudimos esperarlos. Al menos esta vez llevaba ropa de abrigo por si la necesitaba por la noche. Otra cosa buena es que los pósteres seguían colgados en sus paneles para el día siguiente.

Fuimos a cenar a un restaurante especializado en carne cruda, en particular en filete tártaro, del que había varias modalidades en la carta. Como ya había comido y cenado pescado el domingo, escogí carne, pero carne a la parrilla, que suelen hacerla más a mi gusto. El otro chico que no hablaba francés también escogió la parrillada mixta, pero simplemente porque la carta estaba en francés y ese plato figuraba en inglés: mixed grill. Por cierto, que a los franceses hay que pronunciarles /miksed/ para que se enteren, en lugar de /mikst/.

Durante la cena el gabacho que tenía en frente me echó en cara que llegué muy tarde a la conferencia plenaria y me preguntó si iba también a pirarme la plenaria del día siguiente. Me jodió porque, si llegué tarde, fue por culpa de la imprenta que no había avisado del cambio de horario, como cuento en la entrada anterior. Preferí callarme y no dar explicaciones, aunque tuve que morderme la lengua. Además me interesaban tanto la plenaria de hoy como la de mañana. Al final acabamos tarde y tuve que ducharme más tarde todavía, pero al día siguiente no tenía que madrugar y además ya conocía el sitio.

Lunes: el póster

Después de escuchar las charlas de la primera sesión paralela, en la mesa del café cogí algo para llevar y me marché a la imprenta de 2 Rue du Tour de l'Eau, 38400 Saint Martin d'Hères. Allí tuve que esperar un poco a que me atendieran. No las tenía todas conmigo de que el póster estuviera ya listo para recoger, por eso lo llevaba en una memoria USB, por si acaso. Yendo a esta hora todavía podía regresar después de comer si el póster no estaba listo entonces. Tuve suerte que justo delante de mí iba una española, que se delató al hablar con su madre, y le pregunté ciertas palabras que necesitaba en francés. Le dije "je commandé un affiche..." mientras le enseñaba la miniatura en A4 que llevaba impresa de casa. No sé si me entendió o reconoció en póster; la cosa es que me sacó el póster impreso, seco y enrollado. Me cobró, le pedí factura y me volví llevando el póster con cuidado de que no se estropeara con el sudor. Cuando llegué a la sede del simposio, ya había empezado la conferencia plenaria, pero yo me fui a dejar el póster instalado.  Lo sujeté con pinzas a un panel que estaba justo al lado de la escalera. Tuve suerte, pues, si no se fijaban en él lo primero al subir, lo verían el último al bajar. Además, como me di cuenta al colgarlo, mi póster era el único que no tenía el fondo blanco, por lo que destacaba.

Ya que había llegado tarde a la conferencia y me había perdido el principio, mejor perder un poco más de ella que de las sesiones paralelas, que me interesaban especialmente. Así puede estar tranquilo a la hora de la comida. La sesión de póster era justo después de comer. Mi idea era ver los demás pósteres antes de que empezara la sesión, en la que se supone que tengo que estar cuidando mi póster para responder a las cuestiones. Hice bien en ir pronto, porque hubo gente que empezó a ver los pósteres antes de tiempo; supongo que porque les interesaban la sesión paralela de softwares. Así se juntó la sobremesa con las dos sesiones de pósteres y con el café. La gente iba y venía en todo el tiempo, y yo tenía que estar en ese horno que era el espacio de pósteres, así que sólo lo dejé lo imprescindible para ir al servicio o a coger bebida en la mesa del café. Quitando lo del calor y que estaba sudando como un cochino, la sesión fue un éxito; vino mucha gente a interesarse por él.

También tuve tiempo, siempre mirando mi póster de reojo, de mirar los pósteres de los demás. Vi que varios habían utilizado la misma clase de LaTeX que yo, pero sin colores de fondo. También vi un póster que no era más que el artículo colgado en un panel. Algo menos cutre fueron los varios pósteres que eran una secuencia de diapositivas de beamer. Al menos era más vistoso que el artículo tal cual.

Lunes: el primer contratiempo

Hoy era el gran día. Hoy no tenía que llegar a las 9 a un lugar conocido, sino llegar a las 8:30 a un lugar desconocido para después llegar a las 8:45 a otro lugar desconocido. Hoy debía recoger el póster en una imprenta en 2 Rue du Tour de l'Eau, 38400 Saint Martin d'Hères, porque la imprenta más cercana (441 Avenue de la Bibliothèque, 38406 Saint Martin d'Hères) cerraba por vacaciones. Ambas eran sedes de la misma cadena Corep. Si hubiera sido durante el curso, la imprenta del campus habría estado abierta y no habría tenido más que dejar el tranvía en Bibliothèques Universitaires y llevar el póster andando desde hasta la sede del simposio, que no era la misma que la de ayer, sino un edificio cercano. No tenía que recorrer los 500m de la Avenue de la Bibliothèque. El único problema la imprenta abría a las 9:00, pero estando tan cerca bien podría acercarme en una pausa de café o después de comer.

La imprenta del campus estaba cerrada; me lo dijeron por correo electrónico cuando les pedí presupuesto. También me dijeron que la imprenta de Rue du Tour de l'Eau estaba abierta, y no me desmintieron que abrían a las 8:30. Entonces el plan era dejar el tranvía en Condillac-Universités, ir a la imprenta, recoger el póster, y volver a la sede del simposio. Aquí está el trayecto. Marchando pronto podía estar en la imprenta a las 8:30 y, dándome un poco de prisa, podía estar en el simposio a las 8:45. Como las charlas no empezaban hasta las 9:00, me podía permitir tardar un poco más y preguntar a alguien qué habían dicho a las 8:45.

Así pues, dejé el tranvía en Condillac-Universités y seguí a pie por la línea B del tranvía hasta este punto, donde me informa que entramos en Saint Martin d'Hères, el municipio al que pertenece la mayor parte del campus de Grenoble, dejando Gières al este. Seguí la Rue du Tour de l'Eau hasta su comienzo (recuerda que buscaba el número 2, o sea, el primero en lado de los pares) y no vi la torre del agua epónima, sino este curioso objeto. Allí encontré la imprenta Corep, pero estaba cerrada y con un letrero que decía que abrían a las 9:00. Ahora han actualizado su horario en la web, pero cuando lo consulté yo sólo venía el horario normal, de 8:30 a 19:00. Cuando les encargué el póster dije varias veces que lo quería recoger a las 8:30 y no me dijeron nada.

Como no quería perderme las charlas, me marché al simposio y lo dejé para la hora del café. A pesar de que no era el edificio que ya conocía, lo encontré con facilidad y llegué a tiempo para escuchar los comentarios de la organización, entre ellos el cambio de comedor. Sería el primer contratiempo, pero tenía otras dos opciones: volver a la imprenta durante el café o después de comer. Además, ahora sabía cuánto se tarda en ir y volver a la imprenta.

Domingo: tutoriales

El domingo desayuné pronto por si me confundía al coger el autobús, el tranvía o al encontrar la sede del simposio. To do fue bien y llegue pronto, así que pude registrarme cuando no había cola y pasé a hacer un segundo desayuno en el café, que fue té de Ceilán, y saludé a la gente que conocía. Cada charla tenía dos horas separadas por una pausa que aprovechamos para tomar zumo de los restos del café, pues hacía mucho calor. En total, entre cafés, descansos y la comida tuvimos 6 pausas, en las que pude conocer a varios participantes. La comida fue en un comedor universitario cerrado por domingo, que nos abrieron reservado para nosotros, en forma de bufet frío. Quienes me conocen ya saben que no me gusta la comida fría y la tomo sólo si no hay más remedio, pero ya teníamos el té para calentar un poco el estómago.

Al acabar las charlas fuimos a la parada del tranvía y allí me enteré gracias a una chica española de que había quedado un grupo grande en Victor Hugo a las 8pm para cenar. Así pues, al bajarme en Victor Hugo fui caminando al hotel, cronometrándome para calcular y volver antes de las 8pm. Me duché deprisa y volví a Victor Hugo, donde me encontré con un par de chicos que estaban esperando porque su hotel estaba tan lejos que no les salía a cuenta ir y volver. Salió el grueso de la gente del hotel Angleterre, en la propia plaza Victor Hugo, y dimos una vuelta buscando un restaurante. A la hora de cenar me puse con esos chicos e hice bien, porque allí estábamos las dos únicas personas que no hablábamos francés. Volvimos tarde, por lo que hice bien en haberme duchado antes. Tan tarde que ya había empezado a refrescar, por eso me arrepentí de haber dejado la chompa (como dicen los peruanos) en el hotel. Había que descansar y madrugar, porque el lunes era el gran día.

Exploración del territorio

Me instalé en el hotel Logis Institut, llamado así por estar frente al Institut Polytechnique de Grenoble, en 10 Rue Barbillon. Exploré las avenidas Félix Viallet, Alsace-Lorraine, el Cours Berriat y la plaza Saint Bruno. Debería haber explorado también la plaza Victor Hugo, pero ya tenía hambre. Sí exploré Saint Bruno, por curiosidad de ver la parada donde se cogía la navette sustitutiva de tranvía, y me encontré que era un barrio de musulmanes, lleno de carnicerías halal, kebabs halal, etcétera, pero una iglesia, en lugar de una mezquita. También me encontré una oficina de correos en Alsace-Lorraine y otra en Saint-Bruno, datos de interés para enviar el póster por correo el jueves. Ya sólo quedaba cenar pronto (lo que sería sencillo después de que comí pronto en Barajas) para habituar mi estómago al horario francés, acostarme pronto (también sencillo después de haber madrugado tanto) y levantarme pronto para tomar una de las combinaciones 34+B que me daba m.tag.fr, la versión para móvil del consorcio de transportes de Grenoble.

Obras en el tranvía

La organización del congreso ya nos avisó con esta noticia en inglés y ésta en francés de que los tranvías no circularían al oeste de Victor Hugo. A mí me correspondía tomar el tranvía B (verde) en Gares, así que mis alternativas eran ir andando a Victor Hugo para tomar allí en tranvía, ir andando a Saint Bruno y tomar allí la navette sustitutoria de la línea A (azul) para enlazar en Victor Hugo con el tranvía (recomendada por la organización) y tomar la línea 34 de autobús en Gares para trasbordar en Victor Hugo al tranvía (recomendada por el tío que me informó en Gares).

Pinchar en el plano para hacerlo más grande.

Mientras que la línea 34 es un autobús regular y el conductor vende billetes, la navette es un autobús de dos cuerpos donde la gente entra y sale por todas las puertas, como en el tranvía, y donde el conductor no vende billetes. Los billetes para la navette se complan y pican en las máquinas que hay en las paradas del tranvía, pero el problema viene en paradas como Berriat Jaurès donde las máquinas más cercanas están en Alsace Lorraine. ¿Quñe hay que hacer entonces? ¿Ir primero a Alsace Lorraine a picar el billete y después a Berriat Jaurès a tomar la navette?. (Actualización: después pasearía por el Cours Berriat y no recuerdo que hubiera máquinas allí.)

La línea 34 de autobús estaba reforzada con más frecuencias, y el tío que me informó en Gares me dio folleto con los horarios de esta línea, así podría salir del hotal minimizando el tiempo de espara en Gares. La página del transporte público de Grenoble me daba correspondencias con la línea 6020 y las Express, pero no les hice mucho caso. (Actualización: un día tomaría el 6020 y no me vendió billete, llevándome gratis a Victor Hugo. Otro día iría a tomar un Express y me vendía billete por 3,20€ cuando el sencillo cuesta 1,50€. No sé como funciona, pero leyendo ahora la noticia en francés tendría que haber comprado ¿y picado? el billete en las máquinas automáticas y después haberme montado. ¡Cuántas cosas se me olvidaron preguntarle a ese tío!)

Viaje a Grenoble

Para este viaje a Grenoble, tuve que tomar el mismo autobús que aquel fatídico 1 de septiembre de 2009, ver 14 horas de viaje. Como no recuerdo los horarios exactos, adapto los de aquella entrada.

6:30 Salida de Palacios en coche
7:30 Salida de Burgos en la Continental
10:20 Llegada a la Avenida de América
10:40 Llegada al andén del metro
11:15 Llegada a Barajas viejo
12:30 Apertura del embarque
14:50 Llegada Lyon Saint-Exupéry
15:30 Salida del autobús para Grenoble
16:35 Llegada del autobús a Grenoble

Así pues, al final fueron sólo 10 horas de viaje, y sin contratiempos como aquella vez. Nadie me rompió la maleta en el autobús de la Continental-ALSA. Las escaleras mecánicas de la Avenida de América funcionaban. Lo único que estaba fuera de mis planes era que el billete de metro me costara 4,70€. Ahora tienes que elegir la estación para que te cobre en función de las paradas intermedias, lo que daba 1,70€. Si el billete ha subido un 70%, el suplemento de aeropuerto ha subido un 200%, costando ahora 3€.

Me comí los bocadillos y fui a hacer cola para tener hueco para la maleta. Abrieron el embarque a la hora que en el billete ponía que se cerraba, aunque eso ya me lo había encontrado otras veces. Llegamos a Lyon Saint-Exupéry a la hora prevista, pero a la T3, y el autobús salía de la T1, así que perdí el autobús de las 15:00 y tuve que esperar al de las 15:30. Lo del autobús resultó más sencillo de lo que esperaba, pues la señora de la ventanilla hablaba inglés. ¿Por qué no ponen la página también en inglés? Fue todo más sencillo porque no necesitabas escoger la hora de vuelta, mientras en internet te exigía escoger la hora de ida y la de vuelta al reservar. Es verdad que así te reservaban plaza, pero corres el peligro de perderlo. No había riesgo de que se llenase el autobús y tener que esperar al siguiente.

Cuando llegué a la estación de autobuses de Grenoble, que es un apéndice de la de trenes, un hombre del consorcio de transportes de Grenoble me paró para informarme sobre las obras del tranvía y de los autobuses alternativos. Al ver que no entendía francés, probó en inglés. Cuando yo le pregunté, al verme en acento, cambió a hablar en español. Me interesaba especialmente porque la parada que correspondía al hotel era la de la estación, así que cogí los horarios que me ofrecía para estudiármelos después, porque al hotel se llegaba a pie.

Probando otra vez una bici

No me subía en una bici desde que dejé Groningen, y todavía tengo el impulso de frenar pisando el pedal en sentido contrario, como se hace en las bicis holandesas.

LaTeX en Blogspot

Voy a celebrar la centésima entra del blog con un descubrimiento que permite añadir ecuaciones en Blogspot por su código LaTeX de manera parecida a como se hace en Wordpress. En Firefox hay que instalar Greasemonkey y después este script. Chrome soporta scripts directamente y basta instalar éste. Este script modifica la interfaz vieja de Blogspot añadiendo los botones LaTeX y UnLaTeX. En la intefaz nueva de Blogger no funciona. Escribiendo $​$1\pm\sqrt2$​$ obtenemos . Pulsando LaTeX se sustituye por una imagen generada por un API de Google, lo que es una desventaja porque en cualquier momento lo pueden quitar. Pulsando UnLaTeX se vuelve al código LaTeX original. Ya tengo una herramienta para probar en Blogspot y comparar con Wordpress.

¿Euler descubrió América?

Mientras esperaba en el departamento a la charla de David Blázquez, me encontré con un libro titulado How Euler Did It. Este libro es una recopilación de artículos (todos disponibles en internet) donde se narra cómo hizo Euler sus descubrimientos matemáticos, pero uno titulado How Euler Discovered America llamó mi atención. En este artículo atribuye a Euler parte del mérito del descubrimiento de América tras redefinir adecuadamente descubrimiento. En este caso se centra en el descubrimiento del Estrecho de Bering, lo que demostraba que América no era parte de Asia. Según narra, en el siglo XVII los rusos mandaron una expedición a los confines de su imperio y encontraron que Siberia limitaba al este con el mar, pero cuando la expedición regresó no quedaba nadie intereado en sus hallazgos. Nuevamente, en el siglo XVIII, enviaron una nueva expedición que unió por mar Nueva Zembla con Kamchatka, bautizando el Estrecho de Bering. Según narra, Rusia estaba sumida en el caos cuando llegaron las noticias de esta expedición, y entre los académicos de San Petersburgo sólo encontraron a Euler dispuesto a recibirlas. Éste difundió las noticias y por eso merece parte en el descubrimiento del Estrecho de Bering. La noticia que envió Euler a Londres está disponible en el siguiente enlace:
Extract of a Letter from Mr. Leonard Euler, Prof. Mathem. and Member of the Imperial Society at Petersburgh, to the Rev. Mr. Cha. Wetstein, Chaplain and Secretary to His Royal Highness the Prince of Wales, concerning the Discoveries of the Russians on the North-East Coast of Asia.
Hay varias cosas en este carta que me llaman la atención. La primera es que la carta tiene las indicaciones "Berlin, Dec. 10. 1746." y "Read Feb. 5. 1746 7." Si Euler escribió la carta en diciembre de 1746, ¿cómo pudieron recibirla los ingleses en febrero del mismo año? Lo que pasa es que los ingleses seguían un calendario juliano (no adoptarían el gregoriano hasta 1752) y comenzaban los años el 25 de marzo. Supongo que ese 7 añadido después del año quiere indicar que para el resto del mundo era 1747. Así la carta tardó 2 meses en llegar, lo que es algo más razonable.
Otra cosa que me llama la atención es que cita longitudes superiores a 180º para Kamchatka, por lo que correspondería al otro hemisferio, pero da la longitud respecto a la isla del Hierro. Supongo que, de no haber sido ingleses, no se habrían molestado en indicar este meridiano cero, porque era el que se venía utilizando desde la Antigüedad, ya que ellos preferían (y consiguieron imponer al mundo) el de Greenwich.
También me ha llamado la atención la ortografía. Por ejemplo, escribe Streight en vez de strait, que es una ortografía antigua, pero me llama más la atneción que escribe tho' en lugar de though. Lo curioso es que ahora se considera informal tho pero entonces era formal, aunque con un apóstrofo. Nótese que, aparte del genitivo, el único otro uso del apóstrofo es en shelter'd. ¿Qué significa, que en los demás participios en -ed se debía pronunciar la e? Eso es lo que suele pasar en textos antiguos o de pronunciación arcaizante, en especial cuando el número de sílabas importa, como en los oratorios de Händel.