No probé L6+L8

Al final no pasé por la Escuela Oficial de Idiomas y no probé el enlace L6+L8, sino el habitual C1+L8. ¡Vaya viento que hacía hoy! Para la vuelta tomé de nuevo el C2 en Industriales, pero bordeando el complejo Económicas-Industriales por el otro lado. Creo que lo mejor será pasar entre Industriales y el Aulario. Mañana ya veré qué hago.

Probando el paseo

Esta mañana he tomado la habitual combinación C1+L8, pero me ha tocado esperar mucho. Para la vuelta, como era todavía pronto para comer, he probado la combinación paseo+C2, es decir, tomar el C2 en Industriales. El paseo es de 1km según el callejero oficial del Ayuntamiento. Mañana espero probar la combinación L6+L8 desde la Escuela Oficial de Idiomas con enlace en Fuente Dorada.

Problemas con los autobuses

Hoy he vuelto a tomar la combinación C1+L8, aunque mi idea era haber dejado el C1 en Industriales y caminar desde allí. He visto pasar delante de mis narices al C1 en la Calle Andalucía y al 3 en la Avenida San Isidro, así que, por matar un poco el tiempo, crucé a la siguiente parada del C1, en la Calle Cigüeña. Después de estas frustraciones no me quedaban ganas de caminar desde Industriales. A punto estuve de perder el 8 delante de la Cárcel Vieja. Lo habría perdido de haber respetado el semáforo, porque el 8 bajaba por Madre de Dios con el semáforo en verde, pero crucé en rojo y llegué justo para tomarlo. De haberlo perdido, seguro que habría llegado andando, pero no siguiendo su recorrido por la Avenida del Valle del Esgueva, sino por el Camino del Cementerio.

Reconociendo la facultad nueva

Hoy he probado la combinación de autobuses L3+L1. Para coger el 3 tengo que cruzar a Pajarillos, lo que está más lejos de la parada del C1 en la calle Cádiz, pero más cerca de donde me deja el C2 de vuelta en el Paseo San Vicente. El trasbordo entre las líneas 3 y 1 es demasiado largo, pero quería pasar por la Plaza Zorrilla para conseguir un plano de autobuses actualizado en la caseta de Auvasa. El problema es que la línea 1 te deja en San Pedro Regalado, que está un poco lejos de campus, y se entra por zona de obras. Quise también volver con la misma combinación L1+L3, siendo el enlace corto, en la calle Ferrari. Creo que este enlace no es óptimo, porque pasamos dos veces por López Gómez. Creo que el enlace óptimo es en Plaza España.

En la facultad nueva hoy he conocido el sótano, donde hemos tenido un seminario, y el aulario. Allí me he encontrado con una bibliotecaria y me ha contado que la mitad del edificio es la biblioteca del campus, que no sólo comprende la de Ciencias, sino también la de Educación y la de Teleco. Me pregunto qué van a hacer con el hueco en esas Escuelas.

Explorando la facultad nueva

Esta mañana he probado la combinación de autobuses C1+L8 para llegar hasta el campus Miguel Delibes, donde está la nueva facultad de Ciencias. Era una mañana gris, y no ha sido lo único que me recordaba a Groningen. Al igual que el campus Zernike de Groningen, el campus Miguel Delibes está al lado del cementerio. La diferencia está en que este campus está por lado de dento de la ronda, la cual lo separa del cementerio, mientras que aquél está por fuera del exterior ring, al igual que su cementerio. Otra similitud es la pésima señalización de ambos campi. Si en éste he encontrado la facultad es porque ya me habían señalado el edificio desde el Camino del Cementerio mientras estaba en obras. Esta facultad está peor señalizada que aquélla, pero me he conseguido encontrar gracias a que aquí había gente que me conocía y me ha explicado como está distribuido el edificio. Creo que ya me he aprendido cómo están distribuidos los pisos de despachos, pero parece ser que la zona de decanado y seminarios es no trivial.

El análisis de Lagrange

Una de las cosas que me ha llamado la atención sobre la fundamentación pre-ε-δ del Análisis es la obra de Lagrange Théorie des fonctions analytiques [1797] cuyo título completo es

Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'évanouissans, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies.

Como describe en el título, es una fundamentación del Cálculo Diferencial libre de toda consideración de infinitésimos, cantidades evanescentes, límites y fluxiones, que eran los fundamentos dudosos que criticara el obispo Berkeley. Su fundamento es la serie de Taylor, que supone que existe para toda función continua, y éste es su punto flaco, aunque la continuidad no estaba bien definida entonces. Decían vagamente que una función era continua si estaba dada por una sola fórmula, lo que es mucho más restrictivo que nuestra definición de continuidad. Lo que hemos hecho nosotros es utilizar su postulado de la serie de Taylor como definición de las funciones analíticas, y así se salva esta obra para nuestra exigencia de rigor.

En esta obra es donde introduce la notación $f'$ para la derivada de $f$, tres años antes de la notación $\mathrm Df$. Se observa una necesidad de indicar la derivada de una función independientemente de la variable independiente y sin hablar de infinitésimos. Parece ser que, como querían apartarse también de las fluxiones de Newton, descartaron la notación $\dot y$.

Por otro lado, pensando en la introducción del Análisis en el bachillerato, quizás fuera conveniente introducir las funciones analíticas. En el fondo, todas las funciones que van a ver son analíticas a trozos. Así pueden justificar que una función es continua o derivable los intervalos donde es analítica.

Los números hiperreales

Para construir los números hiperreales, según la construcción que he visto en todas las referencias, se parte del anillo $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ de todas las sucesiones de números reales y se establece una dicotomía en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ entre subconjuntos grandes y pequeños de $\mathbb N$ que cumpla las siguientes propiedades.

1. Todo subconjunto finito, incluido el vacío, es pequeño.
2. El complementario de un conjunto pequeño es grande.
3. El complementario de un conjunto grande es pequeño.
4. Un subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
5. La unión finita de conjuntos pequeños es pequeña.

Normalmente se suelen enunciar para conjuntos grandes, pero es equivalente módulo las propiedades 2 y 3. La existencia de tal dicotomía requiere del Axioma de Elección. Normalmente se recurre a la existencia de un ultrafiltro por el Lema de Zorn, pero no me meteré en esto.

Gracias a esta dicotomía se construye una tricotomía en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Dadas dos sucesiones $\underline a=(a_n)_{n=0}^\infty$ y $\underline b=(b_n)_{n=0}^\infty$, los conjuntos de índices $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n>b_n\}$, $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n<b_n\}$ y $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n=b_n\}$ son exactamente dos pequeños y uno grande. Según el que sea grande se dice $\underline a>\underline b$, $\underline a<\underline b$ ó $\underline a\sim\underline b$ respectivamente. Resulta que $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ que respecta el orden y definimos los hiperreales como $^*\mathbb R=\mathbb{R}^\mathbb{N}/\sim$. La inmesión $\mathbb R\subset{^*}\mathbb R$ se hace mediante las sucesiones constantes. La operaciones se hacen término a término. En caso de que un término quedara indefinido, como una división por 0, se completa con ceros o con cualquier número. Da igual con qué número se complete porque se hará en un conjunto pequeño de índices y las sucesiones serán equivalentes.

Nótese que no son sólo las sucesiones convergentes, sino que las sucesiones oscilantes también entran. Por ejemplo, la sucesión alternada $((-1)^n)_{n=0}^\infty$ coincide con la constante $1$ en los términos pares y con la constante $-1$ en los impares. Según sea la dicotomía, exactamente uno de los conjuntos de índices, los pares y los impares, será grande y el otro será pequeño. Así la sucesión alternada será equivalente a $1$ ó a $-1$. Nótese también que diferentes sucesiones convergentes a un mismo número representan diferentes números que difieren en un infinitésimo. Es lo que se llama el halo de un elemento, su parte estándar, que es su límite.

Las funciones de variable real se pueden extender a los hiperreales de la siguiente manera: si $a=[(a_n)_{n=0}^\infty]$, $f$ se extiende como $f(a)=[(f(a_n))_{n=0}^\infty]$. Esto permite definir la continuidad de $f$ en $b\in\mathbb R$ como la contención de la imagen por $f$ del halo de $b$ en el halo de $f(b)$. La derivada de $f$ en $b$ se puede definir como la parte estándar del cociente de infinitésimos.

Es interesante reseñar que la construcción de $^*\mathbb R$ depende de la elección de la dicotomía, que se hace invocando el Axioma de Elección. Si se asume la Hipótesis del Continuo, entonces tenemos la unicidad salvo isomorfismo. De lo que no he encontrado referencias es del contrario: si se niega la Hipótesis del continuo, entonces hay construcciones de $^*\mathbb R$ no ismorfas.