Los números hiperreales

Para construir los números hiperreales, según la construcción que he visto en todas las referencias, se parte del anillo $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ de todas las sucesiones de números reales y se establece una dicotomía en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ entre subconjuntos grandes y pequeños de $\mathbb N$ que cumpla las siguientes propiedades.

1. Todo subconjunto finito, incluido el vacío, es pequeño.
2. El complementario de un conjunto pequeño es grande.
3. El complementario de un conjunto grande es pequeño.
4. Un subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
5. La unión finita de conjuntos pequeños es pequeña.

Normalmente se suelen enunciar para conjuntos grandes, pero es equivalente módulo las propiedades 2 y 3. La existencia de tal dicotomía requiere del Axioma de Elección. Normalmente se recurre a la existencia de un ultrafiltro por el Lema de Zorn, pero no me meteré en esto.

Gracias a esta dicotomía se construye una tricotomía en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Dadas dos sucesiones $\underline a=(a_n)_{n=0}^\infty$ y $\underline b=(b_n)_{n=0}^\infty$, los conjuntos de índices $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n>b_n\}$, $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n<b_n\}$ y $\{n\in\mathbb N\mathrel|a_n=b_n\}$ son exactamente dos pequeños y uno grande. Según el que sea grande se dice $\underline a>\underline b$, $\underline a<\underline b$ ó $\underline a\sim\underline b$ respectivamente. Resulta que $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ que respecta el orden y definimos los hiperreales como $^*\mathbb R=\mathbb{R}^\mathbb{N}/\sim$. La inmesión $\mathbb R\subset{^*}\mathbb R$ se hace mediante las sucesiones constantes. La operaciones se hacen término a término. En caso de que un término quedara indefinido, como una división por 0, se completa con ceros o con cualquier número. Da igual con qué número se complete porque se hará en un conjunto pequeño de índices y las sucesiones serán equivalentes.

Nótese que no son sólo las sucesiones convergentes, sino que las sucesiones oscilantes también entran. Por ejemplo, la sucesión alternada $((-1)^n)_{n=0}^\infty$ coincide con la constante $1$ en los términos pares y con la constante $-1$ en los impares. Según sea la dicotomía, exactamente uno de los conjuntos de índices, los pares y los impares, será grande y el otro será pequeño. Así la sucesión alternada será equivalente a $1$ ó a $-1$. Nótese también que diferentes sucesiones convergentes a un mismo número representan diferentes números que difieren en un infinitésimo. Es lo que se llama el halo de un elemento, su parte estándar, que es su límite.

Las funciones de variable real se pueden extender a los hiperreales de la siguiente manera: si $a=[(a_n)_{n=0}^\infty]$, $f$ se extiende como $f(a)=[(f(a_n))_{n=0}^\infty]$. Esto permite definir la continuidad de $f$ en $b\in\mathbb R$ como la contención de la imagen por $f$ del halo de $b$ en el halo de $f(b)$. La derivada de $f$ en $b$ se puede definir como la parte estándar del cociente de infinitésimos.

Es interesante reseñar que la construcción de $^*\mathbb R$ depende de la elección de la dicotomía, que se hace invocando el Axioma de Elección. Si se asume la Hipótesis del Continuo, entonces tenemos la unicidad salvo isomorfismo. De lo que no he encontrado referencias es del contrario: si se niega la Hipótesis del continuo, entonces hay construcciones de $^*\mathbb R$ no ismorfas.