Otras construcciones con infinitesimales

Aparte de los números duales, ya comenté, hay otras extensiones de $\mathbb R$ que incluyen infinitésimos. Hay extensiones de $\mathbb R$ que son series formales en un parámetro $\varepsilon$ infinitesimal. El cuerpo de Levi-Civita $\mathcal R$ está formado por las series formales en $\varepsilon$ con coeficientes en $\mathbb R$, exponentes en $\mathbb Q$ y soporte con la propiedad de que a la izquierda de todo número racional hay sólo una parte finita del soporte. Es decir, los elementos de $\mathcal R$ están determinados por una sucesión de términos $(a_n)_{n=0}^\infty$ en $\mathbb R$ y una sucesión de exponentes $(d_n)_{n=0}^\infty$ en $\mathbb Q$ estrictamente creciente y divergente, de manera que $\sum_{n=0}^\infty a_n \varepsilon^{d_n} \in\mathcal R$. Cito como referencia moderna [Shamseddine, New Elements of Analysis on the Levi-Civita Field, tesis doctoral, 1999].

Otra construcción similar son los números superreales de Tall. Es necesario indicar el autor porque otros autores, como Dales y Woodin, construyeron otro tipo de números también llamados superreales. Los superreales de Tall son las series de Laurent formales $\mathbb R(\!(\varepsilon)\!)$, un subconjunto propio de $\mathcal R$. Ambos son cuerpos ordenados; $\mathcal R$ es real-cerrado y su cierre algebraico es $\mathcal R+\mathrm i\mathcal R$, mientras que $\mathbb R(\!(\varepsilon)\!)$ es más sencillo para trabajar con funciones analíticas. Incluso tiene sentido considerar las series divergentes como con dominio infinitesimal.

En ambos casos un número infinito es una serie con potencias negativas de $\varepsilon$, un número finito es una serie sin potencias negativas de $\varepsilon$ y un infinitésimo es una serie sin potencias negativas de $\varepsilon$ ni término independiente. La parte estándar de un número finito es el término independiente de la serie. Así se puede derivar de la manera que se hace con los números duales, sólo que aquí sí se puede dividir por $\varepsilon$. Después de dividir por $\varepsilon$, tomar la parte estándar es eliminar los términos en potencias superiores de $\varepsilon$, que significa infinitésimos de orden superior. Así pues, la derivada no es un cociente de infinitésismos.