El análisis de Lagrange

Una de las cosas que me ha llamado la atención sobre la fundamentación pre-ε-δ del Análisis es la obra de Lagrange Théorie des fonctions analytiques [1797] cuyo título completo es

Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'évanouissans, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies.

Como describe en el título, es una fundamentación del Cálculo Diferencial libre de toda consideración de infinitésimos, cantidades evanescentes, límites y fluxiones, que eran los fundamentos dudosos que criticara el obispo Berkeley. Su fundamento es la serie de Taylor, que supone que existe para toda función continua, y éste es su punto flaco, aunque la continuidad no estaba bien definida entonces. Decían vagamente que una función era continua si estaba dada por una sola fórmula, lo que es mucho más restrictivo que nuestra definición de continuidad. Lo que hemos hecho nosotros es utilizar su postulado de la serie de Taylor como definición de las funciones analíticas, y así se salva esta obra para nuestra exigencia de rigor.

En esta obra es donde introduce la notación $f'$ para la derivada de $f$, tres años antes de la notación $\mathrm Df$. Se observa una necesidad de indicar la derivada de una función independientemente de la variable independiente y sin hablar de infinitésimos. Parece ser que, como querían apartarse también de las fluxiones de Newton, descartaron la notación $\dot y$.

Por otro lado, pensando en la introducción del Análisis en el bachillerato, quizás fuera conveniente introducir las funciones analíticas. En el fondo, todas las funciones que van a ver son analíticas a trozos. Así pueden justificar que una función es continua o derivable los intervalos donde es analítica.