Crítica de los diferenciales (3)

Dice Euler [Institutiones Calculi Differentialis, 1755, Cap. 3, §83]

Si enim quantitas tam fuerit parva, ut omni quantitate assignabili sit minor, ea certe non poterit non esse nulla; [...] Quaerenti ergo, quid sit quantitas infinite parva in Mathesi, respondemus eam esse revera =0; neque ergo in hac idea tanta Mysteria latent, quanta vulgo putantur et quae pluribus calculum infinite parvorum admodum suspectum reddiderunt.
En efecto, si una cantidad [no negativa] fuese tan pequeña que resultase menor que toda cantidad [positiva] asignable, ella ciertamente no puede ser sino nula; [...] A quien pregunte qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, le respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente.

Así afirma Euler que, si se tiene $0\leq x<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$, entonces necesariamente $x=0$. Es equivalente al axioma de Arquímedes: dados $a$ y $b$ positivos, exite $n$ natural tal que $b<na$. Ambos enunciados niegan la existencia de infinitesimales, números estrictamente positivos y menores que cualquier número positivo. Tales infinitesimales fueron utilizados en los primeros siglos del Cálculo, aunque con reservas desde que el obispo Berkeley los criticara. Que no se diga que la Iglesia critica la ciencia siempre desde el inmovilismo, porque la crítica del obispo Berkeley provocó en la comunidad matemática (tanto entre los seguidores de Newton como entre los de Leibnitz, pues criticó a ambos) una búsqueda de fundamentos rigurosos para el Cálculo. Así se llegó hasta la formulación ε-δ que conocemos en la actualidad, lo que se llama el Análisis estándar.

Aunque los infinitésimos fueron borrados del mapa matemático en el siglo XIX, resucitaron alrededor de 1970 con formulaciones que llamamos Análisis no estándar. Estas formulaciones dependen de resultados de la Lógica desconocidos antes. Unos introducen lo no estándar desde la propia Teoría de Conjuntos. Otros construyen los números hiperreales $^*\mathbb R$ como una extensión de los reales y reducen la lógica de lo no estándar a los teoremas de transferencia, que permiten traspasar teoremas de $\mathbb R$ a $^*\mathbb R$ y al contrario. Esto me recuerda que Leibnitz dijo sobre los infinitésimos que bastará utilizarlos como herramienta ventajosa para el cálculo, del mismo modo que los algebristas utilizan las raíces imaginarias con provecho. En ambos casos se ha construido una extensión de $\mathbb R$ donde viven los infinitésismos y las raíces imaginarias. Son dos extensiones de $\mathbb R$ en direcciones diferentes, pero creo que se puede construir un plano complejo $^*\mathbb C$ sobre $^*\mathbb R$, aunque el nombre de hipercomplejos ya está pillado por otra teoría.

Hay otras ampliaciones de $\mathbb R$ diferentes de $^*\mathbb R$, sobre las que ya trataré si tengo ganas, pero en ninguna de las que conozco la derivada es un cociente de incrementos infinitesimales. En todos los casos hay que descartar los llamados infinitésimos de orden superior. Por ejemplo, al derivar $x^2$ se encuentran $$\Delta(x^2)=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2\text,$$ donde descartamos $(\Delta x)^2$ cuando $\Delta x$ es infinitesimal y escriben $\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx+\mathrm dx^2$, donde $\mathrm dx$ es $\Delta x$ restringida a los infinitésimos. Así hacen el cociente $\dfrac{\mathrm d(x^2)}{\mathrm dx}=2x+\mathrm dx$ y descartan $\mathrm dx$ por ser infinitesimal. Por tanto, la derivada no es cociente de infinitésimos, sino que difiere de éste en un infinitésimo. Esta operación puede verse como un paso al límite o como tomar la parte estándar de un número.

Notaciones de la derivada ordinaria

Toda esta serie ¿Qué es una variable en matemáticas? [1, 2, 3, 4] está inspirada por lo que voy a escribir a continuación, una discusión sobre las distintas notaciones de la derivada. Empezaré con mis favoritas: la de Lagrange y la operacional. Ambas se aplican a funciones puras, aunque se pueden aplicar también a funciones con variables bautizadas y, con un ligero abuso, a variables dependientes. Con la notación de Lagrange, la derivada de $f$ es $f'$ y, si la función tenía bautizada la variable, lo hereda la derivada. Para aplicar la notación de Lagrange a una variable dependiente tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $y'=f(x)$. Desde luego yo prefiero $f'(x)$ a $y'$, pero también se utiliza $y'$ y también he visto cosas como $(x^2+1)'=2x$. Así pues, es preferible poner $f'(x)$ que $f(x)'$, porque la primera es la derivada de una función (evaluada en $x$ o recordando que su variable es $x$, según el contexto) y la segunda es la derivada de una variable dependiente. Además, si $y$ es una variable dependiente, no es igual $f'(y)$ que $f(y)'$. De hecho, la regla de la cadena se puede enunciar como $f(y)'=f'(y)\cdot y'$, aunque yo prefiero enunciarla para funciones puras como $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$.

La notación operacional es atribuida por muchos a Euler, pero según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §577] esta notación la introdujo con su significado actual Arbogast [De Calcul des Dérivations, 1800]. En notación, la derivada de $f$ es $\mathrm{D}f$. Si se quiere delimitar dónde actúa, se puede poner $D[f]$; por ejemplo, la regla de Leibnitz quedaría como $ \mathrm{D}[f\cdot g]= \mathrm{D}[f]\cdot g+f\cdot\mathrm{D}[g]$. Al igual que con la notación de Lagrange, para aplicarla a una variable dependiente, tiene que estar implícita y fijada la variable independiente. Si la variable independiente es $x$ e $y=f(x)$, entonces $\mathrm{D}[y]=\mathrm{D}[f](x)$. Así, por ejemplo, se puede ver $\mathrm{D}[x^2+1]=2x$. Además de ser válidas para esta notación las observaciones que hice para la de Lagrange, se tiene la ambigüedad en la expresión $\mathrm{D}f(x)$. ¿Qué significa, $\mathrm{D}[f](x)$ o $\mathrm{D}[f(x)]$? Desde luego yo prefiero la primera interpretación, pero se presta a confusión e incluso, si $x$ es una variable dependiente, pueden tener diferente valor.

Después de introducir mis notaciones preferidas, introduciré las de los padres del Cálculo: Newton y Leibnitz. Con la notación de Newton, la fluxión de $x$ es $\dot x$. En principio, esta notación se podría emplear para cualquier función de cualquier variable, pero en la práctica se ha especializado para variables dependientes del tiempo. Esto significa que la variable independiente implícita es $t$, pero hay usos en Relatividad donde $t$ es una variable espacio-temporal más y la notación de Newton indica derivación con respecto a $\tau$, el tiempo propio. Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §567] indica que, para derivadas respecto a otras variables, Newton utilizaba $\dot y:\dot x$ pero, como ha caído en desuso, no voy a comentarlo. Otra desventaja de esta notación es aplicarla a una expresión compuesta. Newton recurría a barras como $\overline{x+y}$ para agrupar, pero era también la forma mcomún de agrupar antes de que se impusieran los paréntesis. Con paréntesis quedaría como $(x+y)^{\textstyle\cdot}=\dot x+\dot y$.

Finalmente introduzco la notación de Leibnitz, que es la que menos me gusta. En principio se utiliza para variables dependientes. La derivada de $y$ con respecto a $x$ se denota $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Para funciones, se puede convertir en la derivada de una variable dependiente como $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ ó definir $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=f'$. Tiene la desventaja de tener que bautizar a la variable de una función pura, aparte de que el operador tiene altura doble y ocupa mucho más espacio que $\mathrm{D}$ ó que la notación de Lagrange. Pero lo peor de todo es que, aunque es operador $\dfrac{\mathrm{d}\square}{\mathrm{d}\square}$ con dos argumentos, tiene apariencia de cociente e induce a pensar en cancelaciones prohibidas. Ya hablaré en otra entrada sobre las desventajas de esta notación.

Para terminar compararé las diferentes notaciones de las derivadas de orden superior. En la notación de Lagrange se suele utilizar $f',f'',f''',f^\mathrm{IV}$ continuando con números romanos, como para las fracciones sexagesimales, o de la forma $f^{(n)}$. En la notación operacional, evidentemente, se utiliza $\mathrm D^n$. Ambas notaciones admiten la notación $f^{(-1)}$ y $\mathrm D^{-1}$ para la antiderivada o primitiva. La notación de Newton continúa añadiendo puntos encima de la forma $\dot x,\ddot x, \dot{\ddot x},\ddot{\ddot x}$ ó, según Cajori [A History of Matematical Notations, vol II, §579], de la forma $\mathop{\dot x}\limits^n$. La antiderivada (fluente para Newton) se denota $\mathop{x}\limits^{\scriptscriptstyle|}$ según Cajori [§567]. En la notación de Leibnitz se suele escribir $\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$, que no hace más que crear confusión. La antiderivada es todavía más complicada: la inversa de $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ es $\int\square\mathrm{d}x$.

¿Euler descubrió América?

Mientras esperaba en el departamento a la charla de David Blázquez, me encontré con un libro titulado How Euler Did It. Este libro es una recopilación de artículos (todos disponibles en internet) donde se narra cómo hizo Euler sus descubrimientos matemáticos, pero uno titulado How Euler Discovered America llamó mi atención. En este artículo atribuye a Euler parte del mérito del descubrimiento de América tras redefinir adecuadamente descubrimiento. En este caso se centra en el descubrimiento del Estrecho de Bering, lo que demostraba que América no era parte de Asia. Según narra, en el siglo XVII los rusos mandaron una expedición a los confines de su imperio y encontraron que Siberia limitaba al este con el mar, pero cuando la expedición regresó no quedaba nadie intereado en sus hallazgos. Nuevamente, en el siglo XVIII, enviaron una nueva expedición que unió por mar Nueva Zembla con Kamchatka, bautizando el Estrecho de Bering. Según narra, Rusia estaba sumida en el caos cuando llegaron las noticias de esta expedición, y entre los académicos de San Petersburgo sólo encontraron a Euler dispuesto a recibirlas. Éste difundió las noticias y por eso merece parte en el descubrimiento del Estrecho de Bering. La noticia que envió Euler a Londres está disponible en el siguiente enlace:
Extract of a Letter from Mr. Leonard Euler, Prof. Mathem. and Member of the Imperial Society at Petersburgh, to the Rev. Mr. Cha. Wetstein, Chaplain and Secretary to His Royal Highness the Prince of Wales, concerning the Discoveries of the Russians on the North-East Coast of Asia.
Hay varias cosas en este carta que me llaman la atención. La primera es que la carta tiene las indicaciones "Berlin, Dec. 10. 1746." y "Read Feb. 5. 1746 7." Si Euler escribió la carta en diciembre de 1746, ¿cómo pudieron recibirla los ingleses en febrero del mismo año? Lo que pasa es que los ingleses seguían un calendario juliano (no adoptarían el gregoriano hasta 1752) y comenzaban los años el 25 de marzo. Supongo que ese 7 añadido después del año quiere indicar que para el resto del mundo era 1747. Así la carta tardó 2 meses en llegar, lo que es algo más razonable.
Otra cosa que me llama la atención es que cita longitudes superiores a 180º para Kamchatka, por lo que correspondería al otro hemisferio, pero da la longitud respecto a la isla del Hierro. Supongo que, de no haber sido ingleses, no se habrían molestado en indicar este meridiano cero, porque era el que se venía utilizando desde la Antigüedad, ya que ellos preferían (y consiguieron imponer al mundo) el de Greenwich.
También me ha llamado la atención la ortografía. Por ejemplo, escribe Streight en vez de strait, que es una ortografía antigua, pero me llama más la atneción que escribe tho' en lugar de though. Lo curioso es que ahora se considera informal tho pero entonces era formal, aunque con un apóstrofo. Nótese que, aparte del genitivo, el único otro uso del apóstrofo es en shelter'd. ¿Qué significa, que en los demás participios en -ed se debía pronunciar la e? Eso es lo que suele pasar en textos antiguos o de pronunciación arcaizante, en especial cuando el número de sílabas importa, como en los oratorios de Händel.