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domingo, 26 de agosto de 2012

Notaciones de las derivadas parciales

En la entrada anterior discutí las notaciones de la derivada ordinaria. Ahora voy a tratar sobre las notaciones de las derivadas parciales. Para empezar, las notaciones de Lagrange y de Newton sólo son válidas para una variable, aunque la notación de Newton se puede interpretar como deriva parcial respecto al tiempo. Sí hay notaciones operacionales y notación tipo Leibnitz. Hay una notación usual similar a la de Lagrange que necesita que la variables invariantes esté bautizadas. Así, si $z=f(x,y)$, se pueden denotar las derivadas parciales como $z_x=f_x(x,y)$ y $z_y=f_y(x,y)$. Nótese que utilizamos en nombre de las variables independientes, no su valor; así $z_x|_{x=a}=f_x(a,y)$. Otros utilizan las primas de Lagrange en tándem con el subíndice que indica respecto a qué variable estamos derivando, por ejemplo $z^\prime_x=f^\prime_x(x,y)$.

La notación operacional tiene versiones tanto para funciones puras como para funciones con variables bautizadas. Así $\mathrm D_1$ es la derivada respecto a la primera variable, $\mathrm D_2$ respecto a la segunda, etcétera. Para una variable bautizada $x$ se utiliza el operador $\mathrm D_x$. En lugar de la D se puede utilizar ∂ para denotar que las derivadas son parciales. En la notación de Leibnitz substituye el símbolo $\mathrm d$ por $\partial$. Así se escribe $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$. Personalmente yo prefiero $\mathrm D_1$ ó $\partial_1$ aplicada a funciones puras. Ocupa menos y puede utilizarse tanto para funciones puras como para variables.

Ahora trataré sobre la derivadas parciales de orden superior. Hay notaciones que indican el orden de derivación, como $f_{xy}$, $f^{\prime\prime}_{xy}$, $\mathrm D_{xy}$ y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$. Normalmente se aplica el teorema de Schwarz y el orden de derivación no importa, pudiéndose utilizar la notación de multiíndices como $f^{(1,1)}$ y $\mathrm D^{(1,1)}f$. Nótese que la primera de ellas extiende la notación de Lagrange a varias variables. Es una pena que las notaciones para variables anónimas dependan del teorema Schwarz y no sean válidas en general.

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