¿Qué es una variable en matemáticas? (3)

A diferencia de los polinomios, sobre los que trataba la primera parte de esta serie, la funciones no tienen una función destacada a la que podemos denominar $x$ y llamarla variable. Lo más parecido es la identidad, pero la identidad es otra función con la que se compone, no un punto del dominio donde se aplica. Lo correcto sería $f\circ\mathrm{id}$, no $f(\mathrm{id})$. No tenemos una notación, como con los polinomios, donde un nombre no asignado, como $x$, pase a estar asignado a ese anillo de funciones, o a su dominio, o al anillo y a un índice en el caso de varias variables. Por ejemplo, podríamos escribir $\mathcal C(x\in U)$ ó $\mathcal C(x: U)$ en lugar de $\mathcal C(U)$ para indicar que $x$ es la variable asignada a ese anillo. Así podríamos decir indistintamente $f$ ó $f(x)$ con la misma libertad con que lo decimos con los polinomios. Esto se extiende fácilmente a varias variables como $\mathcal C((x,y)\in V)$ ó $\mathcal C(x,y: V)$. Así tendría sentido derivar respecto a $x$ o respecto a $y$.

Ya hemos visto las variables independientes, pero ¿qué son matemáticamente las variables dependientes? Utilizando la anterior formalización de las variables independientes, una variable dependiente podría ser una función junto con nombres de variables independientes para sus argumentos, y se podría aceptar fórmulas del tipo $y=f(x)$ por $y=\mathrm{vd}(f,x)$, incluso si en el anillo al que pertenece $f$ no hemos definido una variable independiente. Podemos entender toda variable independiente también como variable dependiente con la igualdad $x=x$ que quiere decir $x=\mathrm{vd}(\mathrm{id},x)$. Las variables dependientes se pueden sumar, multiplicar y se puede aplicarles funciones, por ejemplo, $z=g(y)$ por $z=\mathrm{vd}(g\circ f,x)$, siendo $y=\mathrm{vd}(f,x)$. Lo que conviene señalar es que, si queremos derivar respecto de variables, éstas han de ser variables independientes. Si ya tenemos $y=\mathrm{vd}(f,x)$, no se puede pretender que $z=g(y)$ sea $z=\mathrm{vd}(g,y)$. Ésta es una de las razones por la que la regla de la cadena no es una cancelación de diferenciales. (La otra razón es que una derivada no es cociente de diferenciales.) Por ejemplo, no se puede poner $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$ porque $y$ no es una variable independiente respecto de la cual se pueda derivar. Se puede poner $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=g'(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text.$$