¿Qué es una variable en matemáticas? (2)

En la primera parte de esta serie traté sobre qué es un variable cuando hablamos de polinomios. Lo que dije allí es válido para series de potencias. Por ejemplo, las series formales sobre un anillo $A$ (las sucesiones cualesquiera con el producto de Cauchy) se denotan $A[[x]]$ queriendo decir "el anillo de series formales en $A$ donde llamamos $x$ a la serie destacada". También vale para series en varias variables y para series convergentes. El problema con estas últimas es que se pueden confundir con la función analítica que definen. Entre los polinomios no hay tal confusión, porque si están evaluados en la variable $x$ es una forma redundante de expresar la variable del polinomio, pero también coincide con la substitución de $x$ por ella misma. Lo mismo ocurre con las series formales, pero las series convergentes sólo se pueden evaluarse dentro de su radio de convergencia, que puede ser menor que el dominio de la función analítica que induce. Por ejemplo, la serie de potencias $1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ define la función racional $\dfrac1{x^2+1}$, que es analítica en todo $\mathbb R$, pero el radio de convergencia de la serie es $1$, por lo que sólo define una función en $(-1,1)$. El resto es prolongación analítica. Para polinomios y series de potencias tiene sentido derivar respecto a $x$ porque, como dije en la entrada anterior, es más que un elemento destacado del anillo; es un símbolo asociado al anillo y, en el caso de varias variables, a un índice.

Otro tipo de variables son las variables mudas, por ejemplo, $i$ en $\sum\limits_{i=0}^n a_i$ y $x$ en $\int f(x)\mathrm{d}x$ y en $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$. Ambas varían en un dominio definido, discreto o continuo, y se pueden sustituir en todas sus apariciones por otro símbolo no usado, por ejemplo, $\sum\limits_{i=0}^n a_i=\sum\limits_{j=0}^n a_j$, $\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(t)\mathrm{d}t$ y $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{t\to\infty}f(t)$. Las variable mudas son locales, por lo que pueden utilizarse varias veces para distinto fin sin contradicción. También es variable muda la $x$ en $x\mapsto x^2$. Me entretengo con las variables mudas porque muchas veces lo que se está utilizando informalmente es una variable muda, por ejemplo, cuando se dice "sea la función $f(x)=x^2$" lo que se quiere decir es "sea la función $f$ dada por $f(x)=x^2$ para todo $x\in\mathbb R$" ó "sea $f: x\mapsto x^2$".

La próxima entrada tratará sobre las variables dependientes e independiente.