¿Qué es una variable en matemáticas? (4)

En la entrada anterior propuse una formalización de variables dependientes e independientes, y llegué a la conclusión de que la regla de la cadena $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$ para $y=f(x)$ y $z=g(y)$ no es válida porque $y$ es una variable dependiente y no se puede derivar respecto a ella. Maple sigue el mismo criterio y da un error si se quiere calcular diff(z,y), pero calcula perfectamente diff(z,x). La forma correcta sería $y=f(x)$, $v=g(u)$, $z=v|_{u=y}=g(y)$ y $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}= \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}\right|_{u=y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text,$$ que ya no es simplificar un cociente.

Como se puede notar en el párrafo anterior, utilizo $y|_{x=a}=f(a)$ para $y=f(x)$, y creo que, ya que la composición se indica de distinta manera, la evaluación se indique de distinta manera. Maple distingue claramente las variables dependientes de las funciones, evaluándose las primeras eval(y,x=a) y las segundas f(a). Aunque se podría confundir, por abuso de notación, una variable dependiente con la función que la define, creo que es mejor distinguirla, e interpretar enunciados como $f=f(x)$ como una denominación de las variable de la función. Es cierto que la estructura subyacente para una función con variables bautizadas es la misma que la de una variable dependiente, pero $y\neq f$ porque $f=\mathrm{func}(f,x)$ (con abuso de notación llamando $f$ tanto a la función de variables bautizadas como a la función de variables anónimas). Su comportamiento es diferente ante composiciones, evaluaciones y substituciones.

Esto es sólo una propuesta de como formalizar el uso de variables dependientes e independientes de manera que los usos comunes de éstas sean mínimos abusos de notación. Me gustaría recibir críticas.