¿Qué es una variable en matemáticas? (1)

Pensando en las diferentes notaciones para la derivación me he llegado a preguntar qué son las variables en matemáticas. Cuando decimos $y=f(x)$, ¿qué es $x$ y qué es $y$? ¿Por qué se dice análisis en una o varias variable si se trata con funciones? Creo que la discusión va a dar para una serie de entradas.

Recuerdo de mis primeras clases en la carrera de matemáticas que nos construyeron formalmente el anillo de polinomios en un anillo $A$. Primero definimos el conjunto de los polinomios como las sucesiones en $A$ (las aplicaciones $\mathbb{N}\to A$) con con una cantidad finita de términos no nulos. Con la suma términos a término y el producto de Cauchy, queda construido un anillo isomorfo a los polinomios en una variable que conocemos usualmente, pero sin variable. La notación más natural para tal anillo sería $\mathrm{Pol}(A)$ en lugar de $A[x]$. Además, ¿qué es $x$? Si definimos $x=(0,1,0,\dots,0,\dots)$, podemos expresar los polinomios como $(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots,0,\dots)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n$, a la manera usual. Así es que $x$ no es sino un polinomio destacado, cuya función polinómica asociada es la identidad. Al decir "$A[x]$" estamos queriendo decir "$\mathrm{Pol}(A)$ donde llamamos $x$ al polinomio destacado". Esto si $x$ era un nombre sin asignar, porque si $x$ fuese un elemento de una extensión $B$ de $A$, $A[x]$ sería el menor subanillo de $B$ que contiene a $A$ y a $x$.

Para los polinomios en varias variables se generalizaría fácilmente. Podríamos definir $\mathrm{Pol}_n(A)$ como el anillo de la aplicaciones $\mathbb{N}^n\to A$ con la suma y el producto adecuados para conseguir una anillo isomorfo a los polinimios usuales y construir los poliniomios destacados $x_1,x_2,\dots,x_n$, a los que podemos llamar variables. Así, al decir "$A[x,y]$" estamos queriendo decir "$\mathrm{Pol}_2(A)$ donde llamamos $x$ al primer polinomio destacado e $y$ al segundo". Creo que esta construcción es más manejable que la construcción iterada $A[x,y]=A[x][y]$ que dimos en aquel curso.

De todas maneras, creo que no basta con definir como variable un polinomio destacado, sino que también necesitamos que el nombre esté asignado al anillo, con un índice en el caso de varias variables, de manera que se pueda definir la derivación respecto a una variable. Así pues una variable es más que un polinomio destacado.